mappe di ordine zero completamente positive e contrattive

Question

Permettere $A$ e $B$ essere $C^*$-algebre tale che $A$ è unital e lascia $\phi: A\rightarrow B$essere una mappa di ordine zero cpc. Poi$\phi$ è un $*$-omomorfismo se e solo se $\phi(1_A)$ è una proiezione.

Da $\phi$ è una mappa di ordine zero cpc, lo sappiamo $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$ per tutti $a,b \in A$. Se$\phi$ è un $*$-omomorfismo, è ovvio che $\phi(1_A)$è una proiezione. Come dimostrare l'altra direzione?

Answer 1

Dall'identità $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$, è sufficiente dimostrarlo $\phi(a)\phi(1_A)=\phi(a)$ per tutti $a$. Poiché gli elementi positivi si estendono$A$, è sufficiente mostrarlo per $a\geq 0$.

Innanzitutto, nota che $\phi(1_A)$ pendolari con $\phi(A)$. Usando il$C^*$-identità, il fatto che $\phi(1_A)$ è una proiezione e l'identità $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$, otteniamo \begin{align*} \|\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a)\|^2&=\|(\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a))(\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a))\|\\ &=\|\phi(a)\phi(1_A)\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a)\phi(1_A)\phi(a)-\phi(a)^2\phi(1_A)+\phi(a)^2\|\\ &=\|\phi(a)^2-\phi(a)^2\phi(1_A)\|\\ &=\|\phi(a^2)\phi(1_A)-\phi(a^2)\phi(1_A)\|\\ &=0. \end{align*}