Massimo di$(\sin{x} + \sqrt3)(\cos{x}+1)$

Question

Il problema è

Massimo di$(\sin{x} + \sqrt3) (\cos{x}+1)$

Ho provato a impostare$\sin(t) = y$,$\cos(t) = x$, così che il problema si è rivelato trovare

Massimo$(y + \sqrt3)(x + 1)$

st$x^2 + y^2 =1 $

Ho provato i moltiplicatori di Lagrange, ma risulta essere un'equazione quartica.

Ho anche provato una trasformazione lineare tale che il problema diventi

Massimo$x^2 - y^2$

st$(x + \frac{\sqrt3+1}{2})^2 + (y - \frac{\sqrt3-1}{2})^2 = 1$

Da$x^2-y^2$è la superficie della sella, la risposta non è ancora banale.

Puoi aiutarmi a trovare la via d'uscita?

Answer 1

Possiamo procedere per identità di mezzo angolo tangente per ottenere

$$f(t)=\left(\frac{2t}{1+t^2} + \sqrt3\right) \left(\frac{1-t^2}{1+t^2} + 1\right) \implies f'(t)=-4\frac{\sqrt 3t^3+3t^2+\sqrt 3t-1}{(1+t^2)^3}$$

e da allora

$$g(t)=\sqrt 3t^3+3t^2+\sqrt 3t-1 \implies g'(t)=3\sqrt 3t^2+6t+\sqrt 3=3\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2\ge 0$$

abbiamo quello$f'(t)$ha una sola radice che corrisponde al massimo per$f(t)$.

Ora da allora

$$g'(t)=3\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2 \implies g(t)=\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^3+c$$

espandendo troviamo$c=-\frac43$quindi la radice è data da

$$\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^3=\frac43 \implies t\approx 0.339$$