Modelli con Learning by Doing e Knowledge Spillovers - Barro, Sala-i-Martin (2003)
Si consideri il modello di crescita endogena con learning by doing e knowledge spillover presentato in Barro & Sala-i-Martin (2003), capitolo 4, sezione 4.3, a partire da pagina 212. In equilibrio, il tasso di crescita dei consumi nell'economia decentralizzata è dato da: $$ \frac{\dot{c}}{c} = \left(\frac{1}{\theta} \right) \cdot \left( \underbrace{f(L) - L \cdot f'(L)}_{\phi_0} - \delta - \rho\right) $$ dove $c$ è il consumo pro capite, $\theta$ è l'inverso dell'elasticità intertemporale di sostituzione, $L$ è la dimensione della forza lavoro ($\frac{\dot{L}}{L} = n$ si presume sia uguale a $0$), $\delta$ è il tasso di ammortamento, $\rho$ è il tasso di sconto soggettivo e $\phi_0$ è il prodotto marginale del capitale.
Se ora consideriamo un pianificatore centrale, la seguente espressione dal tasso di crescita di $c$ può essere ottenuto: $$ \frac{\dot{c}}{c}\bigg\vert_{\text{planner}} = \left( \frac{1}{\theta} \right) \cdot (\underbrace{f(L)}_{\phi_1} - \delta - \rho) $$ dove $\phi_1 = f(L)$ è il prodotto medio del capitale.
Gli autori procedono quindi a presentare un esempio utilizzando una produzione Cobb-Douglas fornita da: $$ Y_i = A \cdot (K_i)^\alpha \cdot (KL_i)^{1-\alpha}, \quad 0 < \alpha < 1 $$ dove index $i$ corrisponde all'azienda $i$, cioè $Y_i$ è l'output di impresa $i$.
Secondo i presupposti del modello, se sostituiamo $y_i = \frac{Y_i}{L_i}, k_i = \frac{K_i}{L_i}$ e $k = \frac{K}{L}$e quindi impostare $y_i = y$ e $k_i = k$, il prodotto medio del capitale è: $$ \frac{y}{k} = f(L) = A \cdot L^{1-\alpha} $$ e il prodotto marginale del capitale è $$ f(L) - L \cdot f'(L) = A \cdot \alpha \cdot L^{1-\alpha} $$ e quindi, \begin{align*} \frac{\dot{c}}{c} &= \left(\frac{1}{\theta} \right) \cdot \left(A \cdot \alpha \cdot L^{1-\alpha} - \delta - \rho\right) \\ \frac{\dot{c}}{c}\bigg\vert_{\text{planner}} &= \left( \frac{1}{\theta} \right) \cdot (A \cdot L^{1-\alpha} - \delta - \rho) \end{align*} Da $0 < \alpha < 1$, il tasso di crescita dell'economia decentralizzata è inferiore a quello dell'economia con un pianificatore centrale.
Continuando, gli autori scrivono quanto segue e cito:
L'ottimo sociale può essere raggiunto nell'economia decentralizzata introducendo un credito d'imposta sugli investimenti al tasso $(1-\alpha)$e finanziandolo con una tassa forfettaria. Se gli acquirenti di capitale pagano solo la frazione$\alpha$del costo, il ritorno privato del capitale corrisponde al ritorno sociale. Possiamo quindi dimostrare che le scelte decentralizzate coincidono con quelle del pianificatore sociale. In alternativa, il governo potrebbe generare lo stesso risultato sovvenzionando la produzione al ritmo$ \frac{(1-\alpha)}{\alpha} $
Non riesco a capire come la tassa e il sussidio possano far sì che l'economia decentralizzata raggiunga un livello di crescita socialmente ottimale. Intuitivamente, posso vedere come potrebbe funzionare ma non riesco a vedere come funzionerebbe la matematica alla base in questo caso.
Se qualcuno potesse spiegarmelo o indicarmi la giusta direzione, lo apprezzerei. Fammi sapere se ho bisogno di aggiungere ulteriori dettagli alla domanda.
Risposte
Possiamo dimostrarlo aggiungendo un po 'di bene pubblico al modello che sarà finanziato da tasse forfettarie (che è anche discusso in Barro & Sala-i-Martin (2004). Crescita economica 2a ed. Cap. 4.4.1). Quindi supponiamo che Cobb-Douglas sia dato come in Barro 1990 come:
$$Y_i=AL_i^{1-\alpha} K_i^{\alpha}G^{1-\alpha} \tag{1}$$
Ora per ogni dato $G$ Le imprese che massimizzano il profitto equipareranno il prodotto marginale del capitale al prezzo di affitto $r+\delta$ e questo ci darà:
$$\alpha A k_i ^{ -(1-\alpha)}G^{1-\alpha}= r+\delta. \tag{2}$$
Poiché le aziende sono omogenee, sceglieranno tutte alcune ottimali $k_i=k$ e quindi otteniamo:
$$Y= AL^{1-\alpha}K^{\alpha}G^{1-\alpha} \implies G = \left(\frac{G}{Y}\right)^{\frac{1}{\alpha}} (AL)^{\frac{1}{\alpha}}k \tag{3}$$
Ora dobbiamo presumere che il governo sceglierà qualche costante $G/Y$ e usando questa combinazione di (3) e (4) ci dà:
$$\alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} = r+ \delta \tag{4}$$
Ora perché $G/Y$ e $L$sono costanti anche il prodotto marginale del capitale sarà costante rispetto al tempo. Di conseguenza:
$$\frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} \left( \alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} - \delta - \rho \right) \tag{5} $$
Ora, in questo caso, anche quanto sopra sembra essere ottimale scelto da un pianificatore sociale benevolo perché il pianificatore sceglierebbe $c$, $k$ e $G$ al massimo:
$$\int^\infty_0 e^{-\rho t}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} dt \tag{6}$$
quale è l'utilità della famiglia, soggetta al vincolo:
$$ \dot{k} = A K^{\alpha}G^{1-\alpha}-c-\delta k - G/L \tag{7}$$
combiniamo (6) e (7) impostando hamiltoniano:
$$H = e^{-\rho t}\frac{c^{1-\theta}-1}{1-\theta} + v\left( A K^{\alpha}G^{1-\alpha}-c-\delta k - G/L \right) \tag{8}$$
che ci darà i seguenti FOC:
$$ e^{-\rho t} c^{-\theta} = v \tag{9}$$
$$ A(1-\alpha)k^{\alpha}G^{-\alpha} = \frac{1}{L} \implies \partial Y/ \partial G =1 \tag{10} $$
$$ - \dot{v} = v \left(A \alpha K^{\alpha-1}G^{ 1-\alpha} - \delta \right) \tag{11}$$
e dobbiamo anche imporre la condizione di trasversalità.
Ora effettivamente il FOC dato nell'equazione (10) sottintendendolo $ \implies \partial Y/ \partial G =1$ ce lo dice in modo ottimale $G/Y=1-\alpha$ (da cui proviene il valore del credito d'imposta sugli investimenti).
Finalmente troviamo che quando $G/Y=1-\alpha$ il pianificatore sociale sceglierebbe:
$$\frac{\dot{c}}{c} \bigg\vert_{\text{social planner}}= \frac{1}{\theta} \left( \alpha A^{(1/\alpha)}(G/Y)^{(1-\alpha)/\alpha}L^{(1-\alpha)/\alpha} - \delta - \rho \right) \tag{12} $$
che è esattamente lo stesso di un equilibrio decentralizzato dato da 5. Tuttavia, l'ipotesi di imposte forfettarie è importante per questo risultato e generalmente utilizzando una tassa distorsiva non otterremo lo stesso risultato.