Mostra che (2) è l'ideale primo in $\mathbb{Z}[i]$

Question

Voglio mostrare che (2) è un ideale primo in $\mathbb{Z}[i]$. So che devo mostrare che il quoziente squilla$\mathbb{Z}[i]/2$è un dominio integrale. Non sono sicuro di come questo possa essere fatto o cosa$\mathbb{Z}[i]/2$sembra. Lo so anche io$\mathbb Z[i]\simeq \mathbb Z[x]/(x^2+1)$, ma non sono sicuro del perché.

Answer 1

Voglio mostrare che (2) è un ideale primo in $\mathbb{Z}[i]$.

Hai considerato $2=(1+i)(1-i)$?

Non sono sicuro di come questo possa essere fatto o cosa $\mathbb{Z}[i]/2$ sembra.

Forse dovresti leggere un paio di altre soluzioni sul sito sulla comprensione degli anelli del quoziente, come questo

Lo so anche io $\mathbb Z[i]\simeq \mathbb Z[x]/(x^2+1)$, ma non sono sicuro del perché.

Puoi dimostrarlo usando il primo teorema di omomorfismo per gli anelli con una mappa da $\mathbb Z[x]\to \mathbb Z[i]$ dato sostituendo $i$ in polinomi in $\mathbb Z[x]$.

Answer 2

Questa affermazione è falsa. Osservalo$0 = (x+1)(x+1) \in \mathbb{Z}[x]/(x^2+1,2)$. Concludere che il quoziente non è un dominio, quindi che (2) non è primo.

Answer 3

Non credo $(2)$ è un ideale primario di $\mathbb{Z}[i]$. Spero che questo possa rispondere alla tua seconda domanda: la mappa$\varphi: \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}[i], f \mapsto f(i)$è un omomorfismo ad anello ben definito. È ora possibile verificarlo$\text{ker}(\varphi)=(x^2+1)$ e quello $\varphi$ è davvero surjective, quindi $\mathbb{Z}[X]/(x^2+1) \cong \mathbb{Z}[i]$.

Answer 4

Sì, $\,R = \Bbb Z[i]\cong \Bbb Z[x]/f,\ f =x^2\!+\!1,\,$segue immediatamente dal primo teorema di isomorfismo, come nella risposta di adh. Dal momento che cerchi di dimostrarlo$2$ non è primo $\,R\,$ mostrando $\,R/2\,$non è un dominio, facciamolo usando la reciprocità dei quozienti come segue

$$\begin{align} \Bbb Z[i]/2 &\,\cong\, (\Bbb Z[x]/f)\,/\,(2,f)/f\\[.2em] &\,\cong\, \ \Bbb Z[x]/(2,f)\\[.2em] &\,\cong\, (\Bbb Z[x]/2)\,/\,(f,2)/2\\[.2em] &\,\cong\ \ \Bbb F_2[x]/f \\[.2em] &\,\cong \ \ \Bbb F_2[x]/(x\!+\!1)^2 \end{align}\qquad$$

Il quoziente finale non è un dominio poiché esiste $\,x\!+\!1 \neq 0$ ma $\,(x\!+\!1)^2 = 0.\,$Questo si chiama algebra dei numeri doppi sopra$\Bbb F_2.\,$I numeri doppi sono utili come modelli algebrici di spazi tangenti e jet .