OLS di matrixform

Question

Se ho il modello: $y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Devo dimostrare che lo stimatore OLS è:

Penso che devo usare $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Ma sono un ma confuso. Qualcuno può scrivere le matrici X e Y? Devo solo moltiplicare il primo coordinato nel file$2\times1$, perché devo mostrarlo solo per $\beta_1$?

Answer 1

$$\require{cancel} \xcancel{ X = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. \qquad {}} $$

Modifica successiva: non ho notato che il modello proposto nel distacco originale non ha un'intercetta. Quindi questo significa che abbiamo$$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$