Omologia con i sistemi locali

Question

Permettere $X$essere uno spazio topologico connesso con il gruppo fondamentale abeliano. Permettere$\mathcal{L}$ essere un $\mathbb{Z}$-valutato sistema locale attivo $X$.

Supponiamo che io conosca l'omologia completa $H_*(X;\mathbb{Z})$. Esistono strumenti che potrebbero permettermi di calcolare (una parte) l'omologia dei coefficienti locali$H_*(X; \mathcal{L})$? Ad esempio, se so che il grado di$H_*(X;\mathbb{Z})$ diventa illimitato in funzione del grado, posso concludere lo stesso in merito $H_*(X; \mathcal{L})$?

Answer 1

Un approccio consiste nell'usare mod $2$omologia. Lo sai

$H_i(X;\mathbb Z/2)$ è isomorfo per entrambi $ H_i(X)\otimes \mathbb Z/2\oplus Tor(H_i(X),\mathbb Z/2)$ e $H_i(X;\mathcal L:)\otimes \mathbb Z/2\oplus Tor(H_i(X;\mathcal L),\mathbb Z/2)$. Se i gruppi di omologia integrale sono generati in modo finito, questo ti dà quello che vuoi.

Ma se $2$ è invertibile nell'omologia integrale quindi non credo ci sia molto da dire. $X$ ha un $2$-spazio di copertura in fogli $\tilde X$, e se $H_i(\tilde X)$ è un $\mathbb Z[1/2]$-module quindi si divide come somma diretta di $+1$ e $-1$ `` autospazi '' per l'azione della trasformazione di copertura, che sono poi $H_i(X)$ e $H_i(X;\mathcal L)$. Queste due parti non devono avere nulla a che fare l'una con l'altra.