Omotopia tra idempotenti di piccola differenza
Permettere $A$ essere un unital $C^*$-algebra. Si sa che se$p$ e $q$ sono proiezioni in $A$ con
$$\|p-q\|<1,$$
poi $p$ e $q$ sono omotopici attraverso un percorso di proiezioni.
Domanda: un'affermazione simile vale per gli idempotenti? Più precisamente, se$e$ e $f$ sono idempotenti in $A$, esiste $\delta>0$ tale che $e$ e $f$ sono omotopici attraverso idempotenti ogni volta $$\|e-f\|<\delta?$$
Risposte
Da Lemma (11.2.7) in ( Rørdam, M .; Larsen, F .; Laustsen, N. , An Introduction to (K) -theory for (C ^ *) - algebras, London Mathematical Society Student Texts. 49. Cambridge : Cambridge University Press. Xii, 242 p. (2000).https://zbmath.org/?q=an:0967.19001.), per ogni idempotente $e$ nel $A$, uno ha quello $$ \rho (e):= ee^*(1 + (e - e^*)(e^*-e))^{-1} $$ è una proiezione (idempotente autoaggiunto) e $e\sim_h\rho (e)$ (intendendo che $e$ e $\rho (e)$ sono omotopici attraverso un percorso di idempotenti).
Quindi, dato $e$ e $f$ soddisfacente $\Vert e-f\Vert <\delta $ (il valore preciso di $\delta $ da completare in seguito), ce l'abbiamo $e\sim_h\rho (e)$ e $f\sim_h\rho (f)$, quindi se riusciamo a dimostrarlo $\rho (e)\sim_h\rho (f)$, lo otterremo per transitività $e\sim_h f$. Come notato nel PO, da allora$\rho (e)$ e $\rho (f)$ sono proiezioni, basterebbe dimostrarlo $\Vert \rho (e)-\rho (f)\Vert <1$.
Non è difficile vedere che la gamma di un elemento idempotente $e$ coincide con la gamma di $\rho (e)$, così $\rho (e)$ è infatti la proiezione ortogonale sull'intervallo di $e$.
Dati idempotenti $e$ e $f$, scriviamo d'ora in poi $E$ e $F$ per le gamme di $e$ e $f$, rispettivamente e da $p$ e $q$ le proiezioni ortogonali su $E$ e $F$, il che equivale a dirlo $p=\rho (e)$ e $q=\rho (f)$.
Definire $$ \alpha (E, F) = \sup\{\text{dist}(x,F): x\in E,\ \Vert x\Vert \leq 1\}, $$ $$ \beta (E, F) = \sup\{\text{dist}(x,E): x\in F,\ \Vert x\Vert \leq 1\}. $$ e infine mettere $$ d(E, F) = \max\{\alpha (E, F),\beta (E, F)\}. $$
Lemma 1 . abbiamo $$ d(E,F)\leq \Vert e-f\Vert . $$ Se inoltre $e$ e $f$ sono autoaggiunti, quindi $$ \Vert e-f\Vert \leq 2d(E,F). $$
Prova . Per$x$ nel $E$ con $\Vert x\Vert \leq 1$, noi abbiamo $$ \text{dist}(x,F) \leq \Vert x-f(x)\Vert = \Vert e(x)-f(x)\Vert \leq \Vert e-f\Vert , $$ così $\alpha (E, F)\leq \Vert e-f\Vert $, e lo si può anche provare $\beta (E, F)\leq \Vert e-f\Vert $, da dove $d(E, F)\leq \Vert e-f\Vert $.
Ora supponilo $e$ e $f$ sono autoaggiunti, quindi in particolare $\Vert e\Vert \leq 1$ e $\Vert f\Vert \leq 1$. Per ogni$x$ nel $H$ con $\Vert x\Vert \leq 1$, ce l'abbiamo $e(x)\in E$ e $\Vert e(x)\Vert \leq 1$. Inoltre, l'elemento in$F$ il più vicino a $e(x)$ è $f(e(x))$, così $$ \Vert e(x)-f(e(x))\Vert = \text{dist}(e(x), F) \leq \alpha (E,F)\leq d(E,F). $$ Prendendo la supremazia per tutti $x$ nel $H$ con $\Vert x\Vert \leq 1$, lo deduciamo $$ \Vert e-fe\Vert \leq d(E,F), $$ e dà un ragionamento simmetrico $\Vert f-ef\Vert \leq d(E,F)$, quindi anche $$ \Vert f-fe\Vert = \Vert (f-ef)^*\Vert = \Vert f-ef\Vert \leq d(E,F). $$ Detto questo otteniamo $$ \Vert e-f\Vert = \Vert e-fe+fe-f\Vert \leq \Vert e-fe\Vert +\Vert fe-f\Vert \leq 2d(E,F). \tag*{$\ blacksquare$} $$
Lemma 2 . abbiamo $$ \Vert p-q\Vert \leq 2\Vert e-f\Vert . $$
Prova . Questo segue da $$ \Vert p-q\Vert \leq 2d(E,F)\leq 2\Vert e-f\Vert . \tag*{$\ blacksquare$} $$
Teorema . Se$\Vert e-f\Vert <1/2$, poi $e\sim_hf$.
Prova . Per Lemma (2) abbiamo $$ \Vert \rho(e)-\rho(f)\Vert =\Vert p-q\Vert \leq 2\Vert e-f\Vert <1, $$ quindi la conclusione segue come sopra indicato. $\qquad \blacksquare$
Supponendo che $$ \Vert f-e\Vert < {1\over \Vert e \Vert +\Vert f \Vert}, \tag{*} $$ permettere $u=ef+(1-e)(1-f)$. Poi $$ \Vert u-1\Vert = \Vert ef-e-f+ef\Vert= \Vert e(f-e) - (f-e)f \Vert \leq $$ $$ \leq \Vert e \Vert\Vert f-e\Vert + \Vert f-e \Vert\Vert f \Vert = (\Vert e \Vert +\Vert f \Vert)(\Vert f-e\Vert) <1. $$ Questo implica che $u$è invertibile. Inoltre abbiamo quello $eu=uf$, da dove $e=ufu^{-1}$.
Si noti che il fatto che $\Vert u-1\Vert <1$ implica non solo quello $u$ è invertibile, ma anche che la serie di potenze che definisce il logaritmo converge a $u$, così che $u=e^h$, per alcuni $h$ nel $A$. Otteniamo quindi un percorso di idempotenti che si uniscono$f$ e $e$ di $$u_t=e^{th}fe^{-th}.$$
Osservazioni :
Questo non fornisce un universale $\delta$, come richiesto nell'OP, ma almeno mostra che essere omotopicamente equivalenti è invariante sotto piccole perturbazioni.
La mia impressione è che non esista un universale $\delta$ e farò rapporto se dovessi essere in grado di dimostrarlo.
Una stima elementare mostra che se $\Vert f-e\Vert <(4\Vert e\Vert )^{-1}$, quindi vale la condizione (*) sopra, quindi la deduciamo $e$ è omotopicamente equivalente a ogni elemento idempotente in un intorno di $e$.