Orbite di $SO(3)$

Question

Disclaimer: questa domanda ha avuto diverse modifiche; questo tratta il caso$k=\mathbb{R}$, mentre ne posterò un altro per il caso complesso.

Considera l'azione di $SO(3)$ sopra $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, con coordinate omogenee $x_0,x_1,x_2$, della forma $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Vorrei capire quali sono le orbite di questa azione, e capire se l'azione è transitiva, cioè $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ cioè da allora $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, Mi piacerebbe studiare $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Per farlo ho considerato per semplicità il poitn $p=(1:0:0)$, e l'ho trovato $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $UN$ is equal to $p$}\}.$$ Per concludere, dovrei mostrare questo dato un punto $y\in \mathbb{P}^2$, esiste una matrice $B\in SO(3)$ tale che $Bp=y$, ovvero la prima colonna di $B$ è uguale a $y$. Purtroppo ora sono bloccato, perché non so come creare una matrice da una semplice colonna$y$.

Answer 1

Hai bisogno di una matrice $B$ tale che $Bp$ è proporzionale a $y$ (pensando a $y$ come vettore in $\Bbb R^3$). Quindi il primo passo è sostituire$y$ con $y/\|y\|$, in modo che sia un vettore unitario. Allora hai bisogno di una matrice di rotazione la cui prima colonna sia$y$. Le altre due colonne devono essere ortogonali a$y$e devono essere orientati positivamente. Quindi ecco una costruzione:

Lascia che la più piccola voce di $y$, in valore assoluto, essere il $i$th. Permettere$w = e_i$. Calcolare$$ v = w - w \cdot y $$ che è ortogonale a $y$ (perché non può essere zero? Questo è un esercizio per te), e poi lascia $$ u = v / \| v \| $$ che è un vettore unitario ortogonale a $y$. Allora lascia$B$ essere una matrice con colonne $y, u, $ e $y \times u$.

Ma nota che questo funziona per ogni punto $y$, non solo quelli sulla tua curva $C$, quindi non capisco davvero come questo risolva il tuo problema. Probabilmente ho frainteso qualcosa.