Perché la 3a dimensione della sfera Bloch?

Question

Posso capire l'intuizione dietro un cerchio di blocco bidimensionale, poiché rappresenta la distribuzione di probabilità di un certo vettore di stato. Tuttavia, non riesco a capire cosa aggiunge la terza dimensione alla visualizzazione quando si tratta di probabilità. Come aiuta? Cosa dovrebbe aggiungere al modello che il cerchio di Bloch non ha fatto?

Poiché la lunghezza è sempre 1, qual è il punto di aggiungere l'asse az?

Answer 1

Un qubit è un sistema quantistico a due livelli e quindi può essere scritto come:

$$ |\psi \rangle = \alpha |0\rangle + \beta|1\rangle $$

dove $|0 \rangle$ e $|1\rangle$ sono la base di calcolo e sono definiti come $$ |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

e $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$. Quindi abbiamo quello$|\psi \rangle \in \mathbb{C}^2 $e si può pensare di$\mathbb{C}^2$ come $\mathbb{R}^4$. Tuttavia, la fase complessiva nello stato quantistico non ha importanza, ovvero$|\psi\rangle $ è equivalente a $e^{i\phi} |\psi \rangle$. Pertanto, puoi escludere questa fase generale da$|\psi\rangle$e sono rimasti solo 3 parametri. Essenzialmente ora stai considerando lo spazio$\mathbb{R}^3$. Insieme al requisito di normalizzazione, che uno stato quantistico deve avere una norma unitaria, questo lo costringe ad essere una sfera unitaria, che chiamiamo Bloch-Sphere.

Answer 2

Non stai cercando di visualizzare le probabilità. Stai cercando di visualizzare la struttura molto più ricca offerta dalle ampiezze di probabilità. Per un singolo qubit, le ampiezze di probabilità richiedono 3 parametri reali, quindi spazio tridimensionale.

Answer 3

La sfera di Bloch rappresenta lo stato con le seguenti ampiezze di probabilità: $$|\psi\rangle = \cos(\theta/2)\ |0\rangle +e^{i\phi} \sin(\theta/2)\ |1 \rangle, $$ dove $\theta$ e $\phi$sono gli angoli sulla sfera di Bloch. Ogni punto sulla sfera rappresenta uno stato diverso. Come accennato da altre risposte queste$\cos(\theta/2) $ e $e^{i\phi} \sin(\theta/2) $ non sono probabilità che lo stato si trovi nello stato $0$ o $1$, piuttosto rappresentano le ampiezze di probabilità. Per ottenere una probabilità da un'ampiezza di probabilità, quadriamo le ampiezze di probabilità. Questo è,$\cos^2(\theta/2) $ e $\sin^2(\theta/2) $ sono le probabilità e vedete che si sommano $1$.

Noti anche che l'angolo $\phi$non compare nelle espressioni per le probabilità. Significa che possiamo semplicemente ignorare$\phi$tutti insieme? No. Se potessimo, allora davvero non avremmo bisogno di una sfera bidimensionale per rappresentare gli stati.

Il motivo per cui non possiamo ignorare l'angolo $\phi$dalle nostre considerazioni è dovuto al principio di sovrapposizione della meccanica quantistica. Supponiamo di avere,$$|\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( |0\rangle + |1 \rangle), \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( |0\rangle +e^{i\phi} \ |1 \rangle.$$ Quindi il principio di sovrapposizione ci dice che possiamo ricavare un terzo stato dalla loro sovrapposizione, $$|\psi_3\rangle = N(|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle) = \sqrt{\frac{2}{3+\cos(\phi)}}\left(|0\rangle + \frac{1+e^{i\phi}}{2} |1\rangle \right) ,$$ dove $N$è un fattore di normalizzazione annotato esplicitamente nella seconda uguaglianza. Comunque, il punto qui è ora$\phi$è molto importante. Ad esempio la probabilità dello stato$|\psi_3 \rangle$ essere nel $|1\rangle$ lo stato è, $$P(1) = \frac{1+\cos(\phi)}{3+\cos(\phi)}$$ da cui dipende molto $\phi$. In effetti questa probabilità varia da$0.5$ quando $\phi = 0$ per $0$ quando $\phi = \pi$.