Perché questo sistema è lineare?

Question

Ciao ragazzi, sto studiando segnali e sistemi, e il mio professore ce l'ha detto

$$y(t) = \int\limits_{ t+T }^{t-T/2} {x(a+T/2)}\mathrm{d} a$$

è un sistema lineare.

Ma un primitivo di $x$ non lo è $ x^2$? Com'è possibile che sia lineare?

Answer 1

Non è un integrale di variabile $x$. La notazione$x(a+T/2)$sta per una funzione $x(\cdot)$ di variabile $a$.

Quindi applicando il teorema fondamentale del calcolo e assumendo che esista una funzione $G(a)$ tale che $G'(a) = x(a)$, allora avrai:

$$ \int x(a+T/2) da = \int G'(a+T/2)da = G(a+T/2) + C $$

dove la costante dell'integrazione, $C$, sarà omesso nell'integrale definito :

$$ \int_{t+T}^{t-T/2} x(a+T/2) da = \int_{t+T}^{t-T/2} G'(a+T/2)da = G(a+T/2)|_{t+T}^{t-T/2} $$

Quindi il sistema non ha nulla con una funzione quadrata .

Venendo alla sua linearità, puoi mostrarla in linea con la linearità dell'operatore integrale ...

Answer 2

I limiti integrali apparentemente complicati $t+T$ e $t-T/2$, o il turno $(a+T/2)$ con variabile indipendente $a$all'interno dell'integrale, offusca la semplicità del sistema. Calcola un'area segnata, su una finestra in continuo movimento$[T,-T/2]$ che si muove $t$, per un input che ha uno spostamento costante. Tutti questi ingredienti suggeriscono che il sistema potrebbe essere lineare.

Per vederlo in modo più chiaro, potrebbe essere utile semplificarlo un po '. Con un cambiamento variabile$u=a+T/2$, il sistema $S$ diventa:

$$y(t) = S(x(t))=-\int_t^{t+3T/2}x(u)\mathrm{d}u\,.$$

Quindi si può verificare se $S(\lambda x_1(t)+\mu x_2(t))$ è uguale a $\lambda S( x_1(t))+\mu S(x_2(t))$. È stato possibile controllare già sulla formula originale, forse è più semplice con la forma semplificata.