Perché sarebbe $1^{-\infty}$ non essere 1?

Question

Mi sembra che sia così $1^{-∞}=\lim_\limits{x→∞}1^{-x}=\lim_\limits{x→∞}\frac1{1^x}=\frac11=1$non importa come ci avviciniamo. Tuttavia, Wolfram Alpha risponde con un misteriosamente non qualificato "$\text{(undefined)}$". Allo stesso modo, JavaScript pensa anche che il risultato non sia un numero. D'altra parte, i linguaggi APL molto inclini alla matematica NARS2000 e J lo hanno entrambi dato $1$.

Quali ragioni ci sono per rifiutare $1^{-∞}=1$?

Answer 1

Dal momento che per qualsiasi $x$ noi abbiamo $1^x=1$ come hai notato

$$\lim_{x\to -\infty} 1^x =\lim_{x\to -\infty} 1=1$$

e hai perfettamente ragione su questo, ma come $f(x)\to 1$

$$\lim_{x\to -\infty} \left(f(x)\right)^x $$

è una forma indeterminata, cioè possiamo ottenere qualsiasi risultato a seconda della natura di $f(x)$.

Probabilmente da questo input wolfram si riferisce simbolicamente a quest'ultimo caso.

Answer 2

$$\begin{array}{} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n} \to e^{-1} \\ \left( 1+\frac{1}{n^2} \right)^{-n} \to 1 \\ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n^2} \to 0 \end{array}$$

Answer 3

Il valore $1^\infty$è indeterminato. Può essere interpretato come$$\lim_{x\to \infty} 1^x=1,$$ come $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =e,$$tra gli altri. Questa ambiguità lo rende indeterminato. BPRP ha alcuni buoni video che approfondiscono questo concetto.