Precisione della previsione della volatilità
Comprendo il concetto di base dei modelli ARCH / GARCH e la matematica di base dietro di esso. Cioè, si modella la "volatilità" di una serie temporale, cioè i residui di un modello descrittivo di serie temporali, che a sua volta consente la previsione della volatilità.
Tuttavia, come viene valutata la previsione di volatilità? In un'impostazione della media condizionale, si confronta solo il valore effettivo con il valore previsto. In un contesto di volatilità condizionale, cosa viene confrontato? La differenza tra i suddetti valori e il residuo previsto?
In questo caso, posso teoricamente immaginare uno scenario in cui il residuo viene sempre previsto correttamente, a sua volta implicando che il punto previsto è sempre sbagliato (se il residuo è maggiore di zero). Questo non può essere il metodo di valutazione corretto, poiché dipende fortemente da quanto sia distorta la previsione puntuale. Ma come valutiamo correttamente le previsioni ARCH / GARCH?
Risposte
Il punto della previsione della volatilità è prevedere la piena densità predittiva. Ad esempio, potresti assumere una densità futura normale con media zero e prevedere l'unico parametro libero, che sembra essere la varianza. Oppure usa un approccio non parametrico.
Il metodo di scelta per la valutazione delle densità predittive è una regola di punteggio corretta . Abbiamo un tag delle regole di punteggio . Il suo tag wiki contiene alcuni riferimenti alla letteratura.
A titolo di esempio, ho scelto a caso il primo articolo pertinente nell'attuale numero dell'International Journal of Forecasting , che per caso era "Previsione della volatilità con leva variabile nel tempo e volatilità degli effetti di volatilità" di Catania & Proietti (2020, IJF ) . Usano il punteggio di probabilità classificato continuo (CRPS), che è una regola di punteggio corretta molto comunemente usata.
Parlando della valutazione delle previsioni di volatilità in generale (non GARCH in particolare), menzionerò un'alternativa alla risposta di Stephan Kolassa.
Si possono anche studiare le corrette regole di punteggio per le statistiche o le "proprietà" delle distribuzioni; quest'area è talvolta chiamata elicitazione. Ci si può porre la seguente domanda: esiste una regola di punteggio "corretta"$S(v, y)$ che valuta una previsione $v$della varianza di una variabile casuale utilizzando un campione$y$? Qui la nozione di proprio dovrebbe essere che il punteggio atteso viene massimizzato quando$v$ è la vera varianza.
Si scopre che la risposta è no. Tuttavia, c'è un trucco. Esiste sicuramente una regola di punteggio per la media, ad es$S(u, y) = - (u - y)^2$. Ne consegue che esiste una regola di punteggio per il secondo momento (non centrato), es$S(w, y) = - (w - y^2)^2$.
Pertanto, per valutare una previsione di varianza in modo imparziale, in questo caso è sufficiente interrogare la previsione solo per due parametri, il primo e il secondo momento, che determinano la varianza. In altre parole, non è effettivamente necessario produrre e valutare la distribuzione completa. (Questa è fondamentalmente la tua proposta: valutiamo prima la media condizionale, quindi il residuo, approssimativamente.)
Ovviamente ci sono altre misure di volatilità oltre alla varianza, e ci sono ricerche sul fatto che siano "direttamente elicitabili" (cioè esiste una regola di punteggio appropriata che le solleciti) o, in caso contrario, la loro "complessità di elicitazione" (cioè quanti parametri devono essere estratto dalla distribuzione sottostante per valutarlo). Un luogo in cui viene studiato è per le misure di rischio nella finanza. Le statistiche studiate includono aspettative, valore a rischio e valore a rischio condizionale.
C'è qualche discussione generale in Gneiting, Making and Evaluating Point Forecasts , Journal of the American Statistical Association (2011).https://arxiv.org/abs/0912.0902. La complessità di Elicitation è studiata in Frongillo e Kash, Vector Valued Property Elicitation , Conference on Learning Theory (COLT, 2015).http://proceedings.mlr.press/v40/Frongillo15.html
Forse mantenere la cosa il più semplice possibile è ciò che cerca Shenflow. Così:
Ma come valutiamo correttamente le previsioni ARCH / GARCH?
Le cose non sono così diverse rispetto al caso medio condizionale, come ARMA. Il trucco è che devi preoccuparti di ciò che cerchi di prevedere.
Ad esempio con rendimenti finanziari ($r_t$) è comune identificare la volatilità come i rendimenti al quadrato, per esempio $r_t^2$. Ora, modelli come ARCH / GARCH forniscono una specifica per la varianza condizionale:$V[r_t|r_{t-1},…, r_{t-p}]$
Ad esempio nel caso di ARCH (1) abbiamo $V[r_t|r_{t-1}]= \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2 $
Quindi, per valutare l'accuratezza della previsione, è necessario confrontare la varianza condizionale (previsione della volatilità) con il rendimento al quadrato (volatilità osservata). Quindi, per la valutazione dell'accuratezza, la perdita quadratica media è comune. Nel caso ARCH (1):
$ MSE [r_t^2 - (\omega + \alpha_1 r_{t-1}^2)] $ per alcuni $t$
Si noti che dietro questo esempio c'è l'ipotesi di una media condizionale zero per $r_t$. Altrimenti, anche se l'idea non è così diversa, i secondi momenti e le variazioni non coincidono e le cose si complicano.