Presentazione del sottogruppo

Question

Permettere $G$ essere il gruppo con la presentazione $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ Voglio fare una presentazione per il sottogruppo $H$ generato dagli elementi $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

È sufficiente congetturare la presentazione $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ e sostengono che le relazioni nella presentazione di $G$ implicano chiaramente quelli per cui si ipotizza $H$ e che le relazioni di $H$ implicano le relazioni nella presentazione di $G$.

Answer 1

No, questo non è sufficiente, poiché potrebbero esserci relazioni "nascoste". Nel tuo esempio,$H$ ha effettivamente la presentazione data, ed è presumibilmente possibile mostrarla "a mano" usando le proprietà del gruppo $G$, ma non è "chiaramente" vero.

In alternativa, puoi utilizzare il metodo Reidemeister-Schreier. Questo è un processo per trovare una presentazione di un dato sottogruppo di un gruppo, e funziona bene qui perché$H$ ha un indice finito in $G$. Ci sono due approcci al metodo: la classica versione combinatoria / algebrica come trattata nella Sezione 2.3 del libro Teoria dei gruppi combinatori di Magnus, Karrass e Solitar, o nella Sezione II.4 dell'omonimo libro di Lyndon e Schupp, e la versione topologica utilizzando rivestimenti di complessi di presentazione (vedi qui ). Personalmente prediligo la versione topologica, in quanto la vedo come una "visualizzazione" della versione algebrica.

Il processo può essere eseguito anche su un computer (vedi qui ), anche se il computer lo vorrà$p,q,r$ essere aggiustato.