Primitivo centrale idempotente

Question

Sto leggendo la dimostrazione di questo teorema e c'è una parte che mi dà un po 'fastidio. Il teorema e la dimostrazione di quella parte (evidenziata), sono di seguito.

Prova della parte evidenziata:

La definizione, data nel testo, di primitivo elemento centrale idempotente $e$ è se $e$ è centrale e non ha una decomposizione adeguata come somma di elementi idempotenti centrali ortogonali.

La parte che mi confonde è che non vedo come $e = e e_i + e(1-e_i)$ implica che $ee_i = e_i$ o $ee_i = 0$. Sembra che l'autore stesse usando il fatto che$e$ è un primitivo idempotente centrale per concludere questo ma nell'affermazione assumiamo solo $e$ è un idempotente centrale.

Inoltre, presumilo $e$ è un idempotente centrale primitivo, quindi $e = e e_i + e(1-e_i)$ implicherebbe anche questo $ee_i = 0$ o $e(1-e_i) = 0 $ ma questo implicherebbe quello $e = ee_i$ anche se.

Forse mi manca qualcosa di banale qui ma non lo vedo.

Grazie a tutti.

Answer 1

Non sono sicuro se l'autore ha un errore di battitura o se mi manca qualcosa, ma possiamo scrivere

$$e_i=ee_i+(1-e)e_i.$$

Questa è una somma di idempotenti centrali ortogonali, e da allora $e_i$è primitivo, uno dei termini è zero. Quindi neanche$ee_i=0$ o $(1-e)e_i=0$, in quale caso $e_i=ee_i$.