Probabilità / Combinatoria

Question

La domanda è:

Un'urna contiene 6 neri e un numero sconosciuto ($\le6$) di palline bianche. Tre palline vengono estratte una ad una senza sostituzione e tutte risultano bianche. Qual è la probabilità che la prossima pallina estratta sia nera?

Propongo la seguente soluzione: calcoliamo la probabilità che ci siano r palline bianche nell'urna usando il teorema di Bayes. Quindi questo sarà:$$ f(r) = \frac{\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}}}{\sum_{r=3}^6\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}} }$$dove f (r) denota la probabilità che siano r palline bianche. Ora, se fossero r palline bianche, la probabilità che la prossima estrazione sia nera è$g(r) = \frac{6}{6 + (r-3)} = \frac{6}{3+r}$, perché sono già state raccolte 3 palline bianche. Ora per ottenere la probabilità totale che la prossima palla estratta sia nera si può dare da:$$ \sum_{r=3}^6 f(r)\cdot g(r)$$

Questo approccio è corretto? La risposta ottenuta (ho calcolato utilizzando uno script python) corrisponde in valore decimale con una delle opzioni ($\frac{677}{909})$che è uguale a 0,744. Se è corretto, vorrei sapere se esiste un modo più elegante / meno calcolatore per affrontare questa domanda. Grazie!

Answer 1

La tua risposta di ${\large{\frac{677}{909}}}$ è corretto, assumendo come distribuzione precedente che $r$ è altrettanto probabile che lo sia $0,1,2,3,4,5,6$.

Quindi, se assumiamo, prima di disegnare il file $3$ palle, quella per ciascuna $r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$, la probabilità che l'urna contenga $r$ palline bianche è ${\large{\frac{1}{7}}}$, quindi per $r\in\{3,4,5,6\}$, la funzione $$ f(r)=\frac { {\displaystyle{\frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}}}} } { \;\; {\displaystyle{ \sum_{r=3}^6 \frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}} }} \;\; } $$è la probabilità condizionale che l'urna conteneva inizialmente$r$ palline bianche, visto che le prime $3$ le palline estratte erano bianche.

Il resto della tua analisi è corretto.