Prodotto di gruppi “complesso simpliciale”?
Permettere $X=(V,E)$ essere un grafo e ad ogni vertice $v \in V$, associa un gruppo $G_v$. Il prodotto grafico dei gruppi$G_v$(come definito ad esempio qui ) è$F/R$; il quoziente del prodotto libero di$G_v$ dal sottogruppo normale generato dai commutatori $[G_{u_1},G_{u_2}]$, dove $\{u_1,u_2\} \in E$.
Permettere $K$ essere un complesso simpliciale sull'insieme dei vertici $V$, e lascia $G_v$essere una raccolta di gruppi. Si può anche associare un prodotto grafico di gruppi$G^K$ per $K$ prendendo il grafico che è il $1$-scheletro di $K$. $G^K$ non è quindi dipendente dai simplessi superiori di $K$. In particolare, non dipende da facce mancanti di dimensione maggiore di$1$.
Vorrei trovare una generalizzazione della costruzione del prodotto grafo di gruppi per tenere conto dei simplici superiori (o facce mancanti) di $K$, ma che concorda con la costruzione del prodotto grafico dei gruppi nel caso in cui $K$ è la bandiera.
Si può tentare di fare questa generalizzazione prendendo il colimit del diagramma appropriato in $\mathbf{Grp}$. Cioè, prendi il colimit del diagramma$\mathcal{D}: Cat(K) \rightarrow \mathbf{Grp}$, un funtore della categoria volti di $K$ per $\mathbf{Grp}$, che si associa a ogni simplex $\{v_{i_1},...,v_{i_j} \} = \sigma \in K$ il prodotto diretto $\prod_{j} G_{v_{i_j}}$, e prende inclusioni di semplici in inclusioni di gruppi
Questo non funziona, perché dipende ancora solo da $1$-scheletro di $K$. Il problema sembra essere un'assenza di "maggiore commutatività" in$\mathbf{Grp}$.
Nel loro libro Metric Spaces of Non-Positive curvature, Bridson e Haefliger definiscono i complessi di gruppi e il gruppo fondamentale di tale complesso. Possiamo usare$K$costruire un semplice complesso di gruppi (associando ad ogni simplex il prodotto dei gruppi di vertici) e poi prendere il gruppo fondamentale. Quella costruzione sembra che possa portarmi da qualche parte, ma non sembra essere possibile usarla / adattarla nella generalizzazione del prodotto grafo di gruppi - nonostante il fatto che il gruppo fondamentale risultante sembri dipendere dai simplessi superiori di$K$.
Intuitivamente (a me), il gruppo fondamentale sembra essere un invariante che dipende da "loop" in $K$, piuttosto che facce mancanti.
Vedere i gruppi come gruppi topologici discreti e prendere il colimit dell'omotopia sembra una potenziale strada da percorrere, ma la costruzione di colimiti dell'omotopia in $\mathbf{TGrp}$ sembra molto coinvolto.
Esiste una costruzione che renda possibile una simile generalizzazione?
Risposte
Non so se questo aiuterà, ma in https://arxiv.org/pdf/math/0101220.pdf, abbiamo utilizzato i prodotti grafici degli spazi (che penso sia stato introdotto da Danny Cohen ma non ne sono sicuro) Questo porta a un prodotto tensoriale del grafico delle risoluzioni incrociate dei gruppi. Questo darà una risoluzione del prodotto grafico. Non sono sicuro dell'interpretazione categorica di quel prodotto grafico di spazi.
Un punto potrebbe essere, nel tuo caso, sostituire i gruppi, non con gruppi topologici (discreti), ma con gruppoidi (usando ogni gruppo come un gruppoide con un singolo oggetto) o con i loro nervi, che classificano gli spazi dei gruppi. Ciò corrisponde alla nostra situazione ma senza la maggiore commutatività che deriva dall'uso di complessi incrociati. Consente inoltre di pensare ad altre impostazioni più generali. Ricorda che la categoria dei gruppi può essere pensata come una 2-categoria, incorporandola nella categoria dei groupoidi e ciò implica la coniugazione, quindi può essere utile per la tua domanda. Ci sono anche i file$cat^n$-gruppi di modellazione Loday dell'omotopia $n$-tipi, dove è sicuramente evidente un senso di commutatività maggiore, in quanto anche questi sono incrociati $n$-cubi di gruppi. (Posso fornire maggiori dettagli se necessario.)
BTW La commutatività più alta che desideri e che dici non è presente $\mathbf{Grp}$è presente nei gruppi simpliciali (oid), quindi espandi i tuoi gruppi in dimensioni maggiori in modo da codificare una maggiore commutatività, che proviene da più commutatori. (Questo riguarda molti problemi nella riscrittura della teoria, ma questo mi porterebbe troppo lontano dalla tua domanda!)
Un altro contesto che può darti qualche idea è quello di un'idea esplorata da Abels e Holz (H. Abels e S. Holz. Generazione superiore per sottogruppi. J. Alg, 160: 311– 341, 1993). interpretato come proveniente da una copertura di un gruppo da sottogruppi (e si conoscono le informazioni omologiche su quei sottogruppi). Questo è legato alle idee di Haefliger ma non va nella stessa direzione. In tutte queste idee di orbifold e stack sono probabilmente in agguato, ma ancora una volta non li esplorerò qui (dato che non sono un esperto in quelle aree).
Spero che alcune di queste idee siano d'aiuto.
Modifica: ho solo avuto un'altra idea sulla connessione tra alcuni dei pensieri di cui sopra. Questo è pensare ai sottogruppi di commutatori all'interno$F$ essendo moduli incrociati non formando così il quoziente $F/R$ come tale ma in partenza $[G_u,G_v]$ come se in una dimensione superiore a $F$. L'oggetto risultante prenderà la presentazione che dai come cosa importante, piuttosto che il gruppo che presenta. Si dovrebbe essere in grado di dare un significato al triplo commutatore e quindi ottenere un modulo a 2 incroci o qualcosa di simile. (Anche in questo caso, se hai bisogno di riferimenti, posso darli, ma qui non sarebbe un buon posto.)