Prodotto smash come ritiro?
Considerando il $\mathsf{Hom}$-functor
$$ \mathsf{Hom}_*: \mathsf{Set}_*^{\text{op}} \times \mathsf{Set}_* \to \mathsf{Set}_* $$
mi sembra in qualche modo chiaro che l'adjoint sinistro è il prodotto di successo
$$ (X,x_0) \wedge (Y,y_0) = (X\times Y) / [(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\} \times Y)]. $$
Questo mi sembra relativamente semplice da allora se $F$ è la sinistra aggiunta, quindi
$$ \mathsf{Set}_*\left [(X,x_0), \mathsf{Hom}_*\left ((Y,y_0), (Z,z_0)\right ) \right ] \;\; \cong \;\; \mathsf{Set}_*\left [F((X,x_0), (Y,y_0)), (Z, z_0) \right ] $$
che significa che $F((X,x_0), (Y,y_0))$ è un insieme puntato e corrisponde precisamente a mappature costanti su tutte le coppie della forma $(x,y_0)$ e $(x_0,y)$ per tutti $x\in X, y\in Y$.
Ora, la mia domanda deriva dal libro di Riehl in cui afferma che questa affermazione può essere formulata in modo categorico in modo tale che $\mathsf{Set}$ può essere sostituito da qualsiasi categoria chiusa cartesiana.
Il prodotto di grande successo può essere descritto come un ritiro? In altre parole, abbiamo il seguente diagramma commutativo:
$$ \require{AMScd} \begin{CD} (X,x_0)\wedge (Y,y_0) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y @>>> X\times Y \end{CD} $$
dove le prime due gambe sono la proiezione e le due gambe successive sono inclusioni della forma $i_{y_0}:X\to X\times Y$ dato da $i_{y_0}(x) = (x,y_0)$ e allo stesso modo, $i_{x_0}:Y\to X\times Y$ dato da $i_{x_0}(y) = (x_0,y)$? Fammi sapere se la mia logica sembra corretta, e in caso contrario in quale direzione dovrei prenderla. Dove
Risposte
Nella categoria degli insiemi appuntiti, il punto $x_0\in X$ corrisponde a un morfismo $x_0 : * \to X$. Dati due set appuntiti puoi formare il pushout$$ \require{AMScd} \begin{CD} * @>>> X \\ @VVV@VVV \\ Y @>>> X \vee Y \end{CD} $$ dove identifichi i due punti $x_0,y_0$ in uno solo nell'unione disgiunta $X\sqcup Y$.
Ora, osservalo $X\vee Y$ è un sottoinsieme (appuntito) di $X\times Y$: si identifica nel sottoinsieme $(\{x_0\}\times Y)\times (X\times\{y_0\})$ (semplicemente perché i due punti distinti sono diventati un punto $(x_0,y_0)$ nel $X\vee Y$).
E se prendessi il quoziente di $X\times Y$ di $X\vee Y$? Questo è esattamente il prodotto di punta di$X$ e $Y$. Ma allo stesso tempo, questo è anche il pushout$$\require{AMScd} \begin{CD} X\vee Y @>>> X\times Y \\ @VVV@VVV \\ * @>>> X\land Y \end{CD} $$ Funziona esattamente allo stesso modo in ogni categoria che ha un oggetto zero e tutti i pushout: ad esempio nella categoria degli spazi topologici appuntiti.
Un fatto interessante è che se la tua categoria è, diciamo, quella dei gruppi abeliani, il "prodotto di punta" è l'oggetto zero, perché $X\vee Y\cong X\times Y=X\oplus Y$.
Quindi, potresti pensare al prodotto di successo come una misura del fallimento di prodotti e coprodotti nell'essere isomorfi: maggiore è il quoziente $\frac{X\times Y}{X\vee Y}$, più la categoria ambiente è lontana dall'avere biprodotti .