Prova che $a^3 + b^3 + 3abc > c^3$

Question

Supponiamo $a,b,c$sono i lati di un triangolo non degenere. Prova che$a^3 + b^3 + 3abc > c^3.$

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Stavo pensando che questa disuguaglianza fosse sospettosamente simile $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc,$ quali fattori come $(a + b + c) (a^2 - a b + b^2 - a c - b c + c^2).$Tuttavia, non ho idea di come ottenerlo. Qualcuno può darmi un suggerimento?

Answer 1

Con il tuo suggerimento dobbiamo dimostrare che: $$(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc)>0.$$ Puoi farla finita adesso?

$$a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc=b(b+c-a)+a^2+c^2+ac>0.$$