Prova che $e^n\bmod 1$ è denso $[0,1]$

Question

Ho appena notato che ho lasciato una parte senza risposta di una vecchia domanda in più parti e quindi ho deciso di ripeterla separatamente:

Considera la sequenza $e^n\bmod 1$, $n\in\Bbb N$. Mostra che è denso$[0,1]$.

Questo apparentemente richiede proprietà specifiche (approssimative?) Di $e$, come ad esempio la sostituzione $e$con qualsiasi numero intero porta a una sequenza non densa. D'altra parte, per ogni sequenza di numeri$a_n\in(0,1)$, non è difficile da trovare $\alpha$ tale che $|\alpha^{2^n}\bmod 1- a_n|<\frac1n$ per tutti $n$, o $\beta$ tale che $|\beta^n\bmod 1-a_n|<\frac1{1000}$. Quindi esistono basi (irrazionali) che portano a una sequenza densa e altre che portano a una sequenza non densa. A parte questo, sono un po 'in un vicolo cieco.

Answer 1

Mi è stato chiesto di trasformare un commento in una risposta, anche se era principalmente una citazione, non un mio lavoro. È noto che le parti frazionarie$\{\theta^n\}$ non sono solo densi, ma distribuiti uniformemente per quasi tutti $\theta$. L'ironia è che per ogni individuo$\theta$, non ne sappiamo nemmeno tanto. Citiamohttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B34/pdf/B34_009.pdf

Ad esempio, non possiamo smentirlo $\displaystyle \lim\{e^{n}\}=0$,dove $\{x\}$ è la parte frazionaria di un numero reale $x$. Nel caso in cui$\alpha$ è un numero trascendentale, generalmente è difficile dimostrare che la sequenza $\{\alpha^{n}\}(n=0,1, \ldots)$ ha due punti limite distinti.

Quindi c'è poca speranza riguardo ai numeri trascendentali come $e$ei risultati per algebrico $\theta$non sono nemmeno esattamente sbalorditivi. Possiamo solo sperare che presto ci saranno dei progressi.