Prova che lo conferma $\ell^2$ è completo

Question

Ecco una prova che l'ho scritto $\ell^2$ è completo, mi piacerebbe soprattutto sapere se ci sono dettagli eccezionali che mi sono perso (o sfumature notazionali che potrei aver incasinato lungo la strada.)

Permettere $X^i$ fagiolo $\ell^2$-Cauchy sequenza. Quindi per definizione lo abbiamo per tutti$\epsilon>0$ esiste un $N_\epsilon\in\mathbb{N}$ tale che, per tutti $n,m>N_\epsilon$ noi abbiamo $$||X^n-X^m||<\epsilon.$$ Ciò significa che per ciascuno $x^n_i,x^m_i$ quello $(x^n_i-x^m_i)^2<\epsilon$ e poiché tutte le norme su $\mathbb{R}$ sono equivalenti, quindi per ogni i fisso, $(x_i^n)$ converge ad alcuni $x_i$. Ora lo abbiamo per ciascuno$\epsilon_i>0$ quello $(x_i^n-x_i)^2<\epsilon_i$, per $n$ maggiore di alcuni $N_i$. Possiamo ritenere che questa sequenza sia tale$\epsilon>\sum_{i=1}^\infty \epsilon_i$, poiché ogni termine, $(x_i^n-x_i)^2<\epsilon_i$, quindi per tutti $k$ noi abbiamo $\sum_{i=1}^k(x_i^n-x_i)^2<\sum_{i=1}^k \epsilon_i<\epsilon$ che significa $\sum_{i=1}^\infty (x_i^n-x_i)^2<\epsilon$ e quindi $X^i\to X$.

Modifica: pensavo che la mia prova originale fosse irreparabile, quindi ne ho scritta una diversa che fosse un po 'più diretta.

Permettere $X^i$ fagiolo $\ell^2$-Cauchy sequenza in $\ell^2$ tale che $X^n=(x^{(n)}_i)$. Abbiamo, per tutti$\epsilon>0$ esiste un $N_\epsilon\in\mathbb{N}$ tale che per tutti $n,m>N_\epsilon$abbiamo \ begin {equation} || X ^ nX ^ m || = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} (x_i ^ {(n)} - x_i ^ {(m)}) ^ 2 <\ epsilon \ tag {1} \ end {equation} Questo significa che per ogni fixed$i$, noi abbiamo $|x_i^{(n)}-x_i^{(m)}|<\sqrt{\epsilon}$. Da$\mathbb{R}$ è completo ognuno di noi $x_i^{(n)}\to x_i$ come $n\to\infty$. Per questo motivo, possiamo sostituire$x_i$ per $x^{(m)}_i$nella nostra disuguaglianza (1), dandoci: \ begin {equation} || X ^ nX || = \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} (x_i ^ {(n)} - x_i) ^ 2 \ leq \ epsilon \ tag {2} \ end {equation} Questo significa che$(X^n-X)\in\ell^2$. Da$X=X^n+(X-X^n)$ poi $X\in\ell^2$. Quindi per l'equazione (2),$X^n\to X$.

Answer 1

Ci sono molti problemi. Ad esempio, affermarlo$\|X^n-X^m\|<\varepsilon$non non significa che, per ogni fissato$i$, $(x_i^{\,n}-x_i^{\,m})^2<\varepsilon$. Il fatto che tutte le norme su$\Bbb R$ sono equivalenti non è rilevante qui, poiché non stai lavorando su $\Bbb R$. E accenni a certi numeri$\varepsilon_i$ senza spiegare cosa sono.

Troverete qui una prova che$\ell^p$ è completo.

Answer 2

C'è un problema subito dopo "Possiamo considerare questa sequenza tale che $\epsilon > \sum \epsilon_i$". Presumibilmente vuoi dire che ci è stato dato $\epsilon$ e prendiamo la sequenza $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$quindi la disuguaglianza vale. Fin qui tutto bene. Quindi affermare che possiamo ottenere tutto$(x^n_i - x_i) \le \epsilon_i$contemporaneamente ma non provarlo. Questo è il problema.

È certamente vero $$(x^n_1 - x_1) \le \epsilon_1\qquad (x^n_2 - x_2) \le \epsilon_2 \qquad \ldots \qquad (x^n_m - x_m) \le \epsilon_n $$ per tutti $n \ge \max\{N_1,N_2,\ldots, N_m\}$. Ma questo fornisce solo un numero finito di coordinate.

Suggerimento dimostrativo: non hai usato come$X^n$ sono dentro $\ell^2$. In particolare come$\sum_i (x^n_i) ^2 < \infty$.