Prova che una statistica è completa

Question

Ho bisogno di aiuto con questo esercizio:

La funzione di densità della variabile casuale $X_i$ è:

\ begin {equation *} f_ \ theta (x) = \ exp (\ theta-x) 1 _ {[\ theta, \ infty)} (x) \ end {equation *}

La funzione di massima verosimiglianza è:

\ begin {equation *} L (x, \ theta) = \ prod_ {i = 1} ^ n \ exp (\ theta-x_i) 1 _ {[\ theta, \ infty)} (x_i) = exp \ bigg (n \ theta- \ sum_ {i = 1} ^ n x_i \ bigg) 1 _ {[0, \ min \ {X_1, ..., X_n \}]} (\ theta) \ end {equation *}

E il suo massimo (unico) è previsto $\hat\theta_{ML}=\min\{X_1,...,X_n\}$.

Trovo che la statistica $Y=\min\{X_1,...,X_n\}$ è sufficiente usare il teorema di fattorizzazione e ora devo dimostrare che è anche completo.

Prima di tutto ho calcolato la densità di $Y$ che è:

\ begin {equation *} g_ \ theta (x) = n \ exp (n \ theta-nx) \ end {equation *}

Quindi per la definizione di statistica completa devo dimostrare che:

\ begin {equation *} E_ \ theta (h (Y)) = 0 \ Rightarrow h = 0 \ end {equation *}

e questo implica che:

\ begin {equation *} E_ \ theta (h (Y)) = \ int_ \ theta ^ \ infty h (y) n \ exp (n \ theta-ny) dy = 0 \ end {equation *}

Come posso concludere dall'ultima espressione che $h(y)$ deve essere zero $\forall y$

Answer 1

$f(\theta)=\int_\theta^\infty h(y)e^{-ny}dy$ è identicamente zero $\forall\theta>0$.

$\implies f'(\theta)=-h(\theta)e^{-n\theta}=0$ che dà $h(\theta)=0$ al di sopra di $\Bbb R^+$ così $P_\theta[h(x)=0]=1$.