Prova $e^x - 1 \le e x$ per $x \in [0, 1]$

Question

Leggendo un recente articolo, mi sono imbattuto nella disuguaglianza: $e^x - 1 \le e x$ per $x \in [0, 1]$.

Ho provato a dimostrarlo usando (il contrario) la disuguaglianza di Bernoulli, ad es $(1 + y)^r \le 1 + ry$, per $r \in [0, 1], y \in [-1, \infty)$, per qui . Qui usando le sostituzioni$y = e - 1 \ge -1$ e $r = x \in [0, 1]$. Questo ha prodotto: \ begin {align *} (1 + (e - 1)) ^ x & \ le 1 + x (e - 1) \\ \ implica e ^ x & \ le ex + (1 - x) \\ \ iff e ^ x - 1 & \ le ex - x \\ \ implica e ^ x - 1 & \ le ex \ quad \ text {da$x \in [0, 1] \Leftrightarrow - x \in [-1, 0]$} \ end {align *}

2 domande: in primo luogo, ci sono problemi con la prova di cui sopra? Secondo, qualcuno può suggerire un altro modo per dimostrarlo? Ci sono molti di questi lemmi usati in questo documento, quindi ho pensato di controllare.

Answer 1

Per ogni $x\in[0,1]$ noi abbiamo: $$(1+ex-e^x)'=e-e^x\geq0$$ Quindi, $$1+ex-e^x\geq1+e\cdot0-e^0=0.$$

Puoi usare Bernoulli per quanto segue. $$(1+ex)^{\frac{1}{x}}\geq e$$ ma per verificare prima della disuguaglianza originale $x=0.$

Answer 2

Per $0\le x\le1$ noi abbiamo

$$e^x-1=\int_0^xe^t\,dt\le\int_0^xe\,dt=ex$$

da $e^t$ è una funzione crescente di $t$ (e $x\le1$).

Answer 3

Ecco una dimostrazione usando il teorema del valore medio. La disuguaglianza è banale per$x=0$. Per$0 < x \leq 1, $ definire $$f: [0,x] \to \Bbb{R}: y \mapsto ey - e^y +1$$ Poi $f'(y) = e-e^y \geq 0$ per tutti $y \in [0,x]\subseteq [0,1]$. Per il teorema del valore medio, c'è$\xi\in (0,x)$ con

$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= f'(\xi) \geq 0$$

Ma allora $$0 \le\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{ex-e^x+1}{x}$$ e quindi $0 \leq ex-e^x+1 \iff e^x-1 \leq ex$ come desiderato.

Answer 4

La disuguaglianza forse più versatile sull'esponenziale è $$\tag1 e^t\ge 1+t$$ per tutti $t\in \Bbb R$. Per$x\ge0$ possiamo applicare $\int_0^x\mathrm dx$ su entrambi i lati e ottenere $$\tag2 e^x\ge 1+x+\frac12x^2.$$ Da questo, quindi (almeno per $0\le x\le 1$) $$\begin{align} (1+\tfrac32x)e^{-x}&\ge (1+\tfrac32x)(1-x+\tfrac12x^2)\\ &=1+\frac12x-x^2+\frac34x^3\\&=1+\frac x4(2(1-x)^2+x^2)\\&\ge1.\end{align}$$ Per moltiplicazione con $e^x$ ($>0$) e riorganizzare, $$e^x\le 1+\frac32x.$$ Il tuo lemma quindi segue da $e>\frac32$.