Prova: non un quadrato perfetto
Permettere $y$essere un numero intero. Prova che
$$(2y-1)^2 -4$$
non è un quadrato perfetto.
Ho trovato questa domanda in un discreto libro di matematica e ho provato a risolverla dividendo la domanda in due parti:
$$y = 2k , y = 2k + 1$$
Ma questo non mi ha portato da nessuna parte.
Risposte
Per amore della contraddizione scrivi $(2y-1)^2-4=n^2$ dove $n$è un numero intero. Equivalentemente$$4=(2y-1-n)(2y-1+n).$$ La differenza tra i due fattori è $2n$, cioè anche. Solo modi per fattorizzare$4$ con fattori che differiscono per numero pari sono $(-2)\cdot(-2)$ e $2 \cdot 2$, entrambi i casi sono impossibili come implicano $n=0$ e $(2y-1)^2=4$.
i quadrati dispari sono $1 \pmod 4,$ma è più specifico di quello. I quadrati dispari sono$1 \pmod 8.$ Puoi verificarlo quadrando, diciamo, $1,3,5,7$ e trova il resto quando viene diviso per $8$. In particolare, i quadrati non lo sono mai$5 \pmod 8.$ Il tuo $(2y-1)^2 - 4 \equiv 5 \pmod 8$ e non può essere un quadrato
Supponiamo:
$$(2 y - 1)^2 - 4 = a^2$$
per alcuni $a$.
Poi
$$(2 y - 1 + 2)(2 y - 1 - 2) = (2 y + 1)(2 y - 3) = a^2$$
Puoi prenderlo da qui?
Pensa alla scomposizione in fattori primi di ogni lato.
Per $y\le-1$, $(2y-1)^2-4$ è tra quadrati consecutivi $(2y)^2$ e $(2y-1)^2$.
Per $y\in\{0,1\}$, $(2y-1)^2-4$ è negativo, quindi non è un quadrato.
Per $y\ge2$, $(2y-1)^2-4$ è tra quadrati consecutivi $(2y-2)^2$ e $(2y-1)^2$.
$(2y-1)^2-4=4(y^2-y)-3$ Se fosse un quadrato perfetto lo sarebbe $=c^2$, dove c è un numero intero. Risolvere per$y$ nel $4(y^2-y)-3-c^2=0$ e prendi $y=\frac{4\pm \sqrt{16+16(3+c^2)}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{4+c^2}}{2}$.
però $c^2+4$ non può essere un quadrato, a meno che $c=0$ (dove $y$non è un numero intero). Assumere$c^2+4=b^2$ così $b=c+a$ con $(c+a)^2=c^2+2ac+a^2$. $2ac+a^2=4$non ha possibili soluzioni intere. ($a=1$ LHS è strano, $a\gt 1$ LHS $\gt 4$).
Quindi nessun numero intero possibile $y$.
$(2y-1)^2 - 4 = (2y-1)^2 - 2^2 = (2y-1+2)(2y-1-2) = (2y+1)(2y-3)$
Nota che $2y+1$ e $2y-3$sono sempre numeri interi distinti. Quindi dimostrare che il loro prodotto non può essere un quadrato si ottiene mostrando che sono coprimi (nessun fattore primo in comune) e che non sono entrambi quadrati allo stesso tempo.
$\mathrm{gcd}(2y+1, 2y-3) =\mathrm{gcd}(2y+1, (2y+1)-(2y-3)) = \mathrm{gcd}(2y+1, 4) = 1$(l'ultima parte è banalmente osservare che una è dispari, l'altra pari). Quindi$2y+1$ e $2y-3$ sono coprimi.
Ora nota che entrambi $2y+1$ e $2y-3$ sono dispari con una differenza di $4$. La differenza minima tra due quadrati dispari è$3^2 - 1^2 = 8$. Quindi non possono essere entrambi quadrati.
Perciò $(2y+1)(2y-3) = (2y-1)^2 - 4$ non può essere un quadrato.
Un'altra prova: presumere WLOG $y>0$. Guarda le differenze tra il quadrato di due numeri consecutivi:$1, 3, 5, 7$, ecc. Quindi l'unico modo per ottenere una differenza di 4 è 2 ^ 0-0 = 1 + 3, il che è impossibile perché $2y-1$ è strano.
La differenza tra due quadrati qualsiasi $a^2$ e $b^2$ con $a^2< b^2$ è almeno 5 se $|b|$ è almeno 3.
Quindi tutto ciò che ti rimane è controllare direttamente $(2y-1)^2 =0,1,4$. E come$2y-1$ è strano, infatti solo $2y-1=1$.