prove di sequenza ricorsive

Question

Sono un po 'nuovo nelle sequenze ricorsive e sto lottando con un esercizio. Mi scuso in anticipo per la lunga domanda e la mia mancanza di conoscenza su come affrontare tali problemi.

Permettere $x_n$ essere definito in modo tale $x_1 = 1$, $x_{n+1} = \frac{x_n^2+1}5$

E ci sono 4 cose che devo dimostrare / mostrare,

(1) Dimostralo $x_n$ $\leq$ $1$ per tutti $n$.

Non sono sicuro di poterlo provare direttamente o per induzione? Cosa sarebbe meglio per questo? Non so come affrontarlo quando è definito ricorsivamente.

(2) Dimostralo $\lvert x_{n+1} - x_n \rvert$ $\leq (\frac{2}{5})^{n-1}$

Non sono sicuro ma potrei usare $\lvert\frac{x_{n+1}^2+1}{5}$ $-$ $\frac{x_n^2+1}{5}\rvert$$\ leq (\ frac {2} {5}) ^ {n-1} $ e poi prova a risolverlo. Come gestisco $ x_n $ ?

(3) Mostra che $ x_n $ è una sequenza di Cauchy.

So che una sequenza di Cauchy è definita come: per ogni numero reale positivo $ \ varepsilon $ , c'è un intero positivo $ N $ tale che per tutti i numeri naturali $ m, n \ gt N $ : $ \ lvert x_m - x_n \ rvert \ lt \ varepsilon $ . Posso applicare questa definizione direttamente in questa sequenza e proseguire da lì?

(4) Calcola il limite di $ x_n $ .

Questo dovrebbe essere semplice se non fosse una sequenza definita ricorsivamente.

Se invece calcolo i primi elementi della sequenza ottengo:

$ x_1 = 1 $ , $ x_2 = \ frac {2} {5} $ , $ x_3 = \ frac {29} {125} $ , $ x_4 = \ frac {841} {15625} $ $ \ ldots $

Questo si avvicina a $ 0 $ (immagino) poiché il secondo termine è inferiore a $ 1 $ . E poiché un quadrato di un numero inferiore a $ 1 $ è sempre più piccolo del numero originale, $ \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} $ $ = 0 $ .

Come posso provarlo correttamente senza provare solo numeri diversi?

Grazie in anticipo!

Answer 1

1. Da $x_1 \leq 1$, dobbiamo solo dimostrarlo, se $x_n \leq 1$, poi $x_{n+1}\leq 1$. Questo è semplice perché lo abbiamo$x_{n+1} = \dfrac{x_n^2+1}{5}\leq \frac 25 \leq 1$. Inoltre, considerando quello$x_n >0$, lo abbiamo stabilito $0 < x_n \leq 1, \forall_n$.

2. $$|x_{n+1} - x_n| = \left| \frac{x_n^2+1}{5} - \frac{x_{n-1}^2+1}{5} \right|=\left| \frac{(x_n-x_{n-1})(x_n+x_{n-1})}{5}\right| \leq \frac 25 |x_n -x_{n-1}|$$ Usando questa disuguaglianza in modo ricorsivo, se ne può rendere conto $$|x_{n+1}-x_n|\leq (2/5)^{n-1}|x_2-x_1| \leq (2/5)^{n-1}.$$

3. La sequenza è Cauchy se, per ogni $\varepsilon >0$, c'è un certo ordine $p$ tale che $|x_n-x_m| < \varepsilon$ per tutti $n \ge m \ge p$. Adesso,\begin{align*} |x_n-x_m|=&|x_n - x_{n-1}+x_{n-1} -x_{n-2}+x_{n-2} + \cdots -x_m|\\ \leq & |x_n-x_{n-1}| + |x_{n-1}-x_{n-2}| + \cdots +|x_{m+1}-x_m|\\ \leq & (2/5)^{n-1} + (2/5)^{n-2} + \cdots +(2/5)^{m-1}\\ =& \dfrac{1-(2/5)^n}{1-\frac 25}\times (2/5)^m = \frac 53 (1-(2/5)^n) (2/5)^m \leq \frac 53 (2/5)^m \end{align*} quindi scegli $p$ in modo tale da $\frac 53 (2/5)^p < \varepsilon$.

4. Se il limite esiste, e sappiamo che esiste perché Cauchy sequenze in $\mathbb{R}$ sono convergenti, ce l'hai $$ x_{n+1} = \frac{x_n^2+1}{5} \Rightarrow L=\frac{L^2+1}{5} $$ e così $L = \frac{1}{2} \left(5\pm \sqrt{21}\right)$. Sapendo che$L \in [0,1]$, dobbiamo scegliere il segno "-" e concludere che $L=\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{21}\right)$.