Pseudoinverso di uno stato quantistico

Question

L'entropia relativa massima tra due stati è definita come $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \log\lambda$, dove $\lambda$ è il numero reale più piccolo che soddisfa $\rho\leq \lambda\sigma$, dove $A\leq B$ è usato per denotarlo $B-A$ è semidefinito positivo.

Un modo alternativo per esprimere la massima entropia relativa è

$$D_{\max}(\rho\|\sigma) = \|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}\|_{\infty},$$

dove $\|\cdot\|_\infty$è la norma dell'operatore che essenzialmente seleziona l'autovalore più grande. Vedo che l'idea essenziale è

\begin{align} \rho &\leq \lambda\sigma \\ \sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}&\leq \lambda I \end{align}

Scegliere il più piccolo possibile $\lambda$ si traduce in uguaglianza e quindi si recupera $D_{\max}(\rho\|\sigma)$ Da questa parte.

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L'ho immaginato $\sigma^{-1}$ qui è ottenuto da

1. Diagonalizzare $\sigma$
2. Prendendo il reciproco di tutti gli autovalori diversi da zero e lasciando zero gli autovalori così come sono
3. Undiagonalizing $\sigma$ ancora.

Tuttavia, questo non ha senso perché per me perché quando il supporto di $\rho$ è più grande del supporto di $\sigma$, $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \infty$. Tuttavia, sembra$\|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{1/2}\|_\infty$ non può mai essere infinito.

Allora come si ottiene $\sigma^{-1}$?

Answer 1

C'è un problema nella derivazione che hai presentato, da allora $\rho \leq \lambda \sigma$ è solo equivalente a $\sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \leq \lambda I$ quando $\sigma$ è invertibile (o almeno quando $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$, in modo da poter limitare lo spazio a $\mathrm{supp}(\sigma)$invece dell'intero spazio di Hilbert). La proprietà non è vera altrimenti: si consideri ad es$|+\rangle\langle+| \leq \lambda |0\rangle\langle 0|$ come controesempio.

Tutto sommato, solo quando la condizione $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$ è soddisfatto possiamo concludere che $D_{\max}(\rho \| \sigma) = \log \| \sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \|_\infty$.