Quadriche e teorema di Springer

Question

Permettere$F$essere un campo completo con valutazione discreta con anello di valutazione$R$, uniformante$\pi$, e caratteristica del residuo$\neq 2$. Un teorema di Springer dice che una forma quadratica$q=q_1 \bot \pi q_2$, dove$q_1,q_2$avere coefficienti in$R^\times$, è isotropo finita$F$se e solo se almeno una delle immagini di$q_1,q_2$è isotropo sul campo residuo$R/\pi$.

Sono interessato a sapere se:

1. un risultato simile vale per altre varietà oltre alla quadrica (questo è un po' vago, ma tutto ciò che viene in mente potrebbe essere utile),

2. si può dire qualcosa di lontanamente simile per le forme quadratiche nel caso diadico (cioè quando char$R/\pi=2$)?

(Nota: prima ho posto la domanda su mathoverflow, ma non ho ricevuto risposta. Quel post è ora cancellato.)

Answer 1

Per Q2, la risposta è sì. Si veda la sezione 19 della "teoria algebrica e geometrica delle forme quadratiche", Elman, Karpenko, Merkurjev, AMS Coll. Pub.56,2008.

Per Q1: puoi generalizzare il fatto che se$q_1,q_2$sono modulo anistropico$\pi$, poi$q$è da anisotropo a forme omogenee di grado$d$.

Quello che mancherà è: se una forma omogenea$f$(con l'appropriata nozione di non degenerazione, che non mi è chiara) di grado$d\geq 2$non ha zeri non banali, quindi non ha zeri non banali modulo$\pi$.

Non so se sia ragionevolmente vero (sospetto che non lo sia).