Qual è la differenza tra le due espressioni quantificate?

Question

Qual è la differenza per le due espressioni quantificate?
(a.1)$(\forall x \in A)(P(x) \Rightarrow Q(x))$
(b.1) $(\forall x \in A, P(x)) \Rightarrow (\forall x \in A, Q(x))$
Non sarebbero logicamente equivalenti, da allora $x$può contenere solo un valore di stato singolare? L'unico modo che ho trovato per confutare le due frasi quantificate è stato per negazione:
(a.2)$\neg(\forall x \in A)(P(x) \Rightarrow Q(x)) \equiv (\exists x \in A)(P(x) \wedge \neg Q(x))$
(b.2) $\neg \forall x \in A, P(x)) \Rightarrow (\forall x \in A, Q(x)) \equiv (\forall x \in A, P(x)) \wedge (\exists x \in A, \neg Q(x))$
Affinché le due espressioni siano logicamente equivalenti, la negazione della negazione dovrebbe essere logicamente equivalente alle frasi originali:
(a.3)$ \neg (\exists x \in A)(P(x) \wedge \neg Q(x)) \equiv (\forall x \in A)(\neg P(x) \vee Q(x)) \equiv \text{(a.1)}$
(b.3) $\neg ((\forall x \in A, P(x)) \wedge (\exists x \in A, \neg Q(x))) \equiv (\exists x \in A, \neg P(x)) \vee (\forall x \in A, Q(x)) \equiv \text{(b.1)}$
Il problema qui però è che entrambe le frasi (a.3) e (b.3) hanno valori di verità differenti, quindi non devono essere logicamente equivalenti.

È una spiegazione adeguata o mi manca qualcosa?

Answer 1

Possiamo ridurre (in base a quello $x\Rightarrow y$ è una scorciatoia per $\neg x \lor y$) domanda alla distribuzione $\forall$ riguardo a $\lor$ e nota che non è vero $$\left[(\forall x)( R(x) \lor S(x) )\right] \Rightarrow [(\forall x)R(x) \lor (\forall x)S(x)] \quad (\text{False})$$

ritenere $R$= "il numero è pari" e $S$= "il numero è dispari" per i numeri da $\mathbb{N}$. Quindi non puoi affermare$(a.1) \Rightarrow (b.1)$.

Tuttavia, c'è un caso in cui l'equivalenza può essere mantenuta: c'è quando uno dei tuoi file $P,Q$ non dipendere da $x$. $$[(\forall x)( R(x) \lor S )] \Leftrightarrow [(\forall x)R(x) \lor S] $$