Quando è $3 x^2 + 2 x$ una piazza
Permettere $x, y$essere un numero intero positivo. Voglio sapere quando$3 x^2 + 2 x = y^2$ ha una soluzione.
Attraverso alcuni elenchi di tutti $x$e tentativi ed errori, ho trovato la seguente ricorsione che sembra includere tutte le soluzioni:
Le condizioni iniziali sono:
$$\begin{array}{l} x_0 = 0, x_1 = 2\\ y_0 = 0, y_1 = 4 \end{array}$$
La ricorsione è:
$$\begin{array}{l} x_n = 8 y_{n - 1} + x_{n - 2}\\ y_n = 14 y_{n - 1} - y_{n - 2} \end{array}$$
Questo sembra essere simile all'equazione di Pell, e qui sembra che $x / y$ è un'approssimazione di frazione continua a $1 / \sqrt{3}$.
Non sono abbastanza sicuro di come trovare tutte le soluzioni matematicamente, e vedo che questo produce effettivamente tutte le soluzioni.
Risposte
Multuply di $3$ ottenere $9x^2+6x=3y^2$, Inserisci $1$ ottenere $(3x+1)^2=3y^2+1$, quindi impostazione $z=3x+1$ ottieni $z^2-3y^2=1$, un'equazione di Pell.
Un'alternativa che potresti trovare $x$ ottenere $\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{3y^2+1}}{3}$, quindi è necessario $3y^2+1$ essere un quadrato, $3y^2+1=z^2$.