Quando è chiuso e mappe continue da discrete a discrete

Question

Un po 'correlato: l' insieme di punti di diramazione non è discreto, ma i punti di diramazione sono isolati?

Considera una mappa chiusa e continua $f: X \to Y$ di eventuali spazi topologici.

Domanda : quali sono alcune condizioni$f, X$ e $Y$ tale che $f$ mappe discrete a discrete?

• Ad esempio, If $X$ e $Y$sono localmente compatti e hausdorff, se sono localmente compatti e T1, se sono ' spazi di Hausdorff relativamente localmente finiti ', se sono ' superfici topologiche ', ecc.

• Qui dice ('p. 342', che è p. 3 del file):

ogni immagine di uno spazio discreto sotto una mappa continua chiusa è discreta

e

ogni immagine di uno spazio discreto sotto una mappa continua aperta è anche discreta

• e anche qui (p. 2, nella dimostrazione del Teorema 17.6):

Come $f$ è chiusa l'immagine di un insieme discreto di punti è discreta.

• Immagino che nessuno dei due risponda alla domanda precedente con "eventuali condizioni". Sto cercando di capire di quali proprietà sono$f, X$ e $Y$ sono rilevanti qui.

Answer 1

Assumilo $X$ è uno spazio discreto.

Se $f: X \to Y$ è aperto, quindi per tutti $y \in f[X]$ scriviamo $y=f(x)$ e così $\{y\}= f[\{x\}]$ è aperto in $f[X]$ e così $f[X]$è discreto. Quindi per l'apertura è immediato.

Se $f:X \to Y$ è chiuso e su, quindi per $\{y\}$ nel $Y$ possiamo dirlo

$$Y\setminus \{y\} = f[X\setminus f^{-1}[\{y\}]]$$ e quindi $Y\setminus \{y\}$ è chiuso e $\{y\}$ è aperto in $Y$.

Quindi non abbiamo nemmeno bisogno di continuità.