Questa prova di 7> 6 è corretta?
Liceale qui. Ho provato a dimostrare che 7> 6 perché è divertente:
Provare
Definizioni
1D - $[a ≥ b] ↔ [a-(z) = b, z \in \mathbb{N}]$
2D - $[a ≥ b] ↔ [(a=b) \lor (a>b)]$
3D - $[a \neq b] ↔ ¬[a=b]$
Prova
Usando l'assioma dell'identità ($a + 0 = a$), lo sappiamo:
1: $7 + 0 = 7$
2: $7 = 7$ Semplificando la riga 1 usando se stesso ($7 + 0 = 7$)
3: $7 - (1) = 7 - (1)$ Sottraendo entrambi i lati di $(1)$ (assioma dell'identità)
4: $7 - (1) = 6$ Semplificare $7-(1)$ sul lato destro dell'equazione
Se definiamo i numeri naturali usando gli assiomi di Peano, possiamo estrarli $1 \in \mathbb{N}$(significa: 1 è un numero naturale ):
5: $7 - (1) = 6, 1 \in \mathbb{N}$
Ora possiamo usare 1D sulla riga 5:
6: $7 ≥ 6$
Utilizzando 2D sulla riga 6:
7: $(7=6) \lor (7>6)$
Per non provare troppe cose, lo assumeremo $7 \neq 6$, anche se sappiamo che è vero:
8: $7 \neq 6$
Utilizzo del 3D sulla riga 8:
9: $¬[7 = 6]$
Usando la logica (se A o B è / sono veri e sappiamo che A è falso, allora B è vero) sulle righe 7 e 9:
10: $7>6$
Quod erat dimostratum :$7>6$
La definizione 1D è stata adattata dal secondo paragrafo della risposta alla domanda "qual è la prova che 0 è minore di 1?" inhttps://www.quora.com/What-is-proof-for-0-being-less-than-1. Non ho capito la risposta, ma ho usato la sua definizione per questo.
La definizione 2D l'ho presa dal nome e dall'idea di $≥$: " Minore o maggiore di".
La definizione 3D è la stessa cosa del 2D. Se$a+b$è "a è uguale a c", e$a \neq b$è "a non è uguale a b", sembrava una buona definizione:$[a \neq b] ↔ ¬[a=b]$
Domande
Per chi risponderà, per favore:
La prova è corretta? Se è così, c'è un modo in cui potrebbe essere migliore? Se è sbagliato, cosa è sbagliato?
A proposito, ho usato correttamente QED ( Quod erat dimostratum )?
Grazie mille per aver letto questo.
PS: non ho detto "liceale qui" all'inizio per aumentare quello che ho fatto. L'ho fatto per assicurarmi che le persone capissero che il mio background in matematica è di scuola superiore, quindi non avrebbero usato spiegazioni troppo complesse.
Risposte
Sono molto felice di vedere che le persone stanno ancora esaminando le basi della matematica, gli assiomi con cui è iniziata questa bellissima scienza. Per rispondere alla tua domanda:
$1$. Sono abbastanza sicuro che la tua dimostrazione sia corretta e molto rigorosa. (Chiederò a uno specialista e verrò con una conferma)
$2$. Il tuo$1D$ è equivalente a:
$\forall x,y (x<y\Rightarrow\exists z(x+z=y))$ (Tutto ciò che accade qui, accade $\mathbb{N}$)
$2'$. Per quanto riguarda il post di quora, quel ragazzo ha usato la seguente interpretazione:
Gli assiomi di Peano possono essere derivati da costruzioni teoriche degli insiemi dei numeri naturali e assiomi della teoria degli insiemi come la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel . La costruzione standard dei naturali, dovuta a John von Neumann, parte da una definizione di$0$ come l'insieme vuoto, $\varnothing$e un operatore $s$ su set definiti come: $$s(a)=a\cup\{a\}$$ L'insieme dei numeri naturali, $\mathbb{N}$ è definito come l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi sotto $s$che contengono l'insieme vuoto. Ogni numero naturale è uguale (come insieme) all'insieme di numeri naturali inferiore a esso. Per esempio:$$3=s(2)=s(\{0,1\})=\{0,1\}\cup\{\{0,1\}\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}$$ Il set $\mathbb{N}$ insieme a $0$ e la funzione successore $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ soddisfa gli assiomi di Peano.
Questo è ciò che intendeva. $a<b$ Se $s(a)\in s(b)$. Come$s(0)=\varnothing$, poi $s(o)\in s(1)$ quindi abbiamo finito.
$2''$. Leggi questo per vedere di più sugli assiomi di Peano e molte interpretazioni (qui è dove$1D$ proviene dall'insieme dell'interpretazione teorica che quel ragazzo ha usato nel suo post di quora)
$3$. Dovresti usare$\mathcal{Q}.\mathcal{E}.\mathcal{D}$ dopo la dichiarazione dimostri:
"$7>6$, Quod Erat Demonstrandum " non " Quod Erat Demonstrandum:$7>6$"
Non esiste una traduzione esatta, ma è usata (principalmente alla fine delle dimostrazioni) con il significato: "questo completa la dimostrazione", "come richiesto", "come desiderato", "come previsto", "quindi dimostrato", "ergo "o altre dichiarazioni simili ..