Reticoli sui moduli

Question

La costruzione standard di reticoli in $\mathbb{R}^n$ può essere generalizzato prendendo qualsiasi spazio vettoriale a dimensione finita $V$ su un campo $F$ e un subring $R$ di $F$, come da Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).

C'è qualche ragione per cui qui vengono considerati solo spazi vettoriali a dimensione finita e non moduli liberi di rango finito? Il reticolo dovrebbe ancora formare un sottogruppo additivo e penso che anche la proprietà delle basi di fornire reticoli isomorfi dovrebbe essere la stessa. C'è qualche proprietà importante che si perde con questa ulteriore generalizzazione che mi manca?

Answer 1

Una proprietà importante della teoria dei reticoli è il prodotto interno da cui si ottiene $\mathbb{R}^n$, così come oggetti correlati come il volume.

Molti dei teoremi interessanti e utili derivano dall'interazione tra le strutture algebriche e geometriche, ad esempio il teorema di Minkowski e la sua applicazione alla geometria dei numeri. La geometria è importante anche per le sue applicazioni in crittografia , poiché è necessaria una norma per parlare di cose come il problema del vettore più breve.

Una definizione equivalente per reticoli è definirli come liberi $\mathbb{Z}$modulo dotato di una forma quadratica. La seguente generalizzazione appare a pagina 3 di "Lattices and Codes" di Ebeling.

Definizione: Let$R$essere un anello commutativo con unità. Un modulo di forma bilineare simmetrico$(S,b)$ al di sopra di $R$ è una coppia composta da un libero $R$-modulo $S$ di rango $n$e una forma bilineare simmetrica $b : S \times S \to R$.

Proposizione 1.1 (Ebeling) I reticoli integrali in$\mathbb{R}^n$ (reticoli in cui ogni prodotto punto è un numero intero) sono i moduli di forma bilineare simmetrici sugli interi dove $b$ è una forma bilineare simmetrica definita positiva.

Il testo menziona quella forma bilineare simmetrica su moduli $\mathbb{Z}$ senza la proprietà definita positiva sono studiati nel capitolo 4, e gli esempi su anelli di interi sono studiati sono studiati nel capitolo 5. Potresti trovarli interessanti da esaminare.