Risolvendo $AB+BA=XBX'$

Oct 10 2020

Supponiamo $A$ è $d\times d$ matrice definita positiva, vorrei trovare una matrice $X$ tale che quanto segue è vero per tutte le matrici definite positive $d\times d$ matrici $B$

$$AB+BA=XBX^T$$

Quando esiste la soluzione? C'è un nome per questa equazione?

Risposte

1 user1551 Oct 11 2020 at 15:08

Allo stato attuale, l'equazione è risolvibile se e solo se $A$ è una matrice scalare positiva.

Da $AB+BA=XBX^T$per tutte le matrici definite positive$B$, se passiamo $B$ a un limite, l'equazione è ancora soddisfatta quando $B$è semidefinito positivo. In particolare,$Auu^T+uu^TA=(Xu)(Xu)^T$ per ogni vettore diverso da zero $u$. Poiché il grado dell'RHS è al massimo uno,$Au$ deve essere un multiplo scalare di $u$. Come$u$ è arbitrario, questo significa che ogni vettore diverso da zero è un autovettore di $A$ e quindi $A$è una matrice scalare. Così$A=cI$ per alcuni $c>0$ perché $A$ è definito positivo.

Al contrario, se $A=cI$ per alcuni $c>0$, noi abbiamo $2cuu^T=(Xu)(Xu)^T$ per ogni vettore diverso da zero $u$. Quindi$Xu$ è identicamente uguale a $\pm\sqrt{2c}u$, il che significa che le uniche soluzioni sono $X=\pm\sqrt{2c}I$.

Angelo Oct 11 2020 at 05:28

Prima di tutto, dimostriamo le seguenti proprietà:

Proprietà 1:

Se $\;M\;$ è una vera matrice simmetrica, esiste una matrice simmetrica $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ tale che $\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M.\;$ Inoltre, se $\;M\;$ è definito positivo, quindi $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ è reale.

Prova:

Applicando il teorema spettrale per matrici simmetriche reali, otteniamo che esiste una matrice ortogonale $\;U\;$ tale che $\;U^T\cdot M\cdot U=F\;$ è diagonale, quindi

$M=U\cdot F\cdot U^T\;$.

Permettere $\;G\;$ essere la matrice diagonale le cui voci sono le radici quadrate delle voci di $\;F\;,\;$ quindi ne risulta $\;F=G\cdot G\;.$

La matrice $\;M^{\frac{1}{2}}=U\cdot G\cdot U^T\;$ è simmetrico e

$\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=U\cdot G\cdot U^T\cdot U\cdot G\cdot U^T=U\cdot G\cdot G\cdot U^T=\\\qquad\qquad\;\;=U\cdot F\cdot U^T=M\;.$

Inoltre, se $\;M\;$ è definito positivo, quindi tutti i suoi autovalori sono positivi, quindi tutti gli elementi diagonali della matrice $\;F\;$ sono anche positivi, di conseguenza $\;G\;$ e $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ sono matrici reali.

Proprietà 2:

Se $\;M\;$ è quindi una matrice simmetrica reale invertibile

$Y^T\cdot Y=M\implies\exists\;U$ matrice ortogonale tale che $\;Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;.$

Prova:

Applicando la Proprietà 1, ne consegue che esiste una matrice simmetrica $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ tale che $\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M\;.$

Da $\;M\;$ è invertibile, quindi $\;\det M\ne0\;,\;$ quindi $\;\det\left(M^{\frac{1}{2}}\right)\ne0\;,\;$ di conseguenza $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ è anche invertibile.

Dato che $M^{\frac{1}{2}}$ è simmetrico, quindi $\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}$ è anche simmetrico.

Se $\;Y^T\cdot Y=M\;,\;$ poi

$Y^T\cdot Y=M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}\;,$

$\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\cdot Y^T\cdot Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=I\;,$

$\left[Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\right]^T\cdot\left[Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\right]=I\;,\;$ quindi

$Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=U\;$ è una matrice othogonal e

$Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;.$

Proprietà 3:

Se $\;M\;$ è una vera matrice simmetrica, quindi

$Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;$ dove $\;U\;$ è una matrice ortogonale $\implies Y^T\cdot Y=M\;.$

Prova:

$Y^T\cdot Y=\left(U\cdot M^{\frac{1}{2}}\right)^T\cdot\left(U\cdot M^{\frac{1}{2}}\right)=M^{\frac{1}{2}}\cdot U^T\cdot U\cdot M^{\frac{1}{2}}=\\\qquad\quad=M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M\;.$

Ora risolviamo l'equazione della matrice:

$X\cdot B\cdot X^T=AB+BA\;,\quad\color{blue}{(*)}$

dove $\;A\;$ e $\;B\;$ sono matrici definite positive.

Applicando il teorema spettrale per matrici simmetriche reali, otteniamo che esiste una matrice ortogonale $\;P\;$ tale che $\;P^T\cdot B\cdot P=D\;$ è diagonale, quindi

$B=P\cdot D\cdot P^T\;$.

Permettere $\;E\;$ essere la matrice diagonale le cui voci sono le radici quadrate delle voci di $\;D\;,\;$ quindi ne risulta $\;D=E\cdot E\;.$

Dato che $\;B\;$ è una matrice definita positiva, tutti i suoi autovalori sono positivi, quindi tutte le voci diagonali di $\;D\;$ e $\;E\;$ sono anche positivi, di conseguenza $\;D\;$ e $\;E\;$ sono matrici invertibili.