Risolvendo l'ODE, controlla la mia risposta.
Sto cercando di risolvere questo ODE ma non sono sicuro della mia risposta. Qualcuno, per favore, controlli la mia risposta. Se il mio lavoro non è vero, racconta il mio errore. Grazie.
Risolvi l'ODE $$\left(x^2+2xy\right)\dfrac{dy}{dx}=y^2-2xy.$$
Soluzione .
\begin{alignat}{2} && \left(x^2+2xy\right)\dfrac{dy}{dx}&=y^2-2xy\nonumber\\ \Longleftrightarrow\quad &&\left(y^2-2xy\right)dx-\left(x^2+2xy\right)dy&=0\nonumber\\ \Longleftrightarrow\quad &&\left(\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-2\left(\dfrac{y}{x}\right)\right)dx-\left(1+2\left(\dfrac{y}{x}\right)\right)dy&=0. \end{alignat} Permettere $u=\dfrac{y}{x}$, poi $y=ux$. abbiamo\begin{alignat}{1} dy&=u dx+xdu\label{p8} \end{alignat} e \begin{alignat}{2} &&\left(u^2-2u\right)dx-\left(1+2u\right)dy&=0.\label{p9} \end{alignat} Ora abbiamo \begin{alignat}{2} &&\left(u^2-2u\right)dx-\left(1+2u\right)\left(u dx+xdu\right)&=0\nonumber\\ \Longleftrightarrow\quad &&\left(u^2-2u\right)dx-\left(u+2u^2\right) dx-\left(1+2u\right)xdu&=0\nonumber\\ \Longleftrightarrow\quad &&\left(-u^2-3u\right)dx-\left(1+2u\right)xdu&=0\nonumber\\ \Longleftrightarrow\quad &&\left(u^2+3u\right)dx&=-\left(1+2u\right)xdu\nonumber\\ \Longleftrightarrow\quad &&\dfrac{dx}{x}&=-\dfrac{1+2u}{u^2+3u}du\label{p10} \end{alignat}
Integrando l'ultima equazione, abbiamo \begin{alignat}{2} &&\int \dfrac{dx}{x}&=\int -\dfrac{1+2u}{u^2+3u}du\nonumber\\ \Longleftrightarrow\quad &&\ln x &= -\left(\int \dfrac{2u+3}{u^2+3u}du - \int \dfrac{2}{u^2+3u}du \right)\label{p11} \end{alignat}
Troviamo l'integrale su RHS come sotto. \begin{alignat*}{1} \int \dfrac{2u+3}{u^2+3u}du&=\int \dfrac{1}{u^2+3u}d\left(u^2+3u\right)\\ &= \ln(u^2+3u)\\ &= \ln u +\ln(u+3) \end{alignat*} \begin{alignat*}{1} \int \dfrac{2}{u^2+3u}du&=\int \dfrac{2}{u(u+3)}du\\ &=\int \dfrac{\frac{2}{3}}{u}du + \int \dfrac{-\frac{2}{3}}{u+3} du\\ &=\dfrac{2}{3} \ln u-\dfrac{2}{3}\ln{\left(u+3\right)}\\ \end{alignat*}
Ora abbiamo \begin{alignat*}{2} &&\ln x &= -\left(\left(\ln u +\ln(u+3)\right) - \left(\dfrac{2}{3} \ln u-\dfrac{2}{3}\ln{\left(u+3\right)}\right)+C \right)\\ \Longleftrightarrow\quad &&\ln x &= -\left(\dfrac{1}{3}\ln u +\dfrac{5}{3}\ln(u+3) \right)+C\\ \Longleftrightarrow\quad &&\ln x &= \ln \left(u^{\frac{1}{3}}(u+3)^{\frac{5}{3}}\right)^{-1}+C\\ \Longleftrightarrow\quad &&x &= K\left(u^{\frac{1}{3}}(u+3)^{\frac{5}{3}}\right)^{-1}, \text{ } K=e^C\\ \Longleftrightarrow\quad &&x &= K\left(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\frac{1}{3}}\left(\dfrac{x}{y}+3\right)^{\frac{5}{3}}\right)^{-1}. \end{alignat*} Otteniamo la soluzione generale di ODE $$x = K\left(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\frac{1}{3}}\left(\dfrac{x}{y}+3\right)^{\frac{5}{3}}\right)^{-1}.$$ oppure possiamo scrivere \begin{alignat*}{2} &&x &= K\left(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\frac{1}{3}}\left(\dfrac{x}{y}+3\right)^{\frac{5}{3}}\right)^{-1}\\ \Longleftrightarrow\quad &&x\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\frac{1}{3}}\left(\dfrac{x}{y}+3\right)^{\frac{5}{3}} &= K\\ \Longleftrightarrow\quad &&\left(\dfrac{x^4}{y}\right)\left(\dfrac{x}{y}+3\right)^{5} &= c, \text{} c=K^3. \end{alignat*}
Risposte
Dal momento che $$-\frac{5}{3}\ln(u+3)-\frac{1}{3}\ln(u)=\ln(x)+c \overbrace{\implies}^{u=\frac{y}{x}}\boxed{-\frac{5}{3}\ln\left(\frac{y}{x}+3 \right)-\frac{1}{3}\ln \left(\frac{y}{x} \right)=\ln(x)+c}$$