Se $\mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty$, è anche $\mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty$?

Question

Permettere $(E_1,\mathcal E_1)$ e $(E_2,\mathcal E_2)$essere due spazi misurabili. Permettere$(E=E_1\times E_2,\mathcal E=\mathcal E_1\times \mathcal E_2)$. Permettere$\mathbb P$ una valida distribuzione di probabilità su $(E,\mathcal E)$. Definisci le distribuzioni marginali$\mathbb P_1(A)=\mathbb P (A\times E_2)$ e $\mathbb P_2(A)=\mathbb P (E_1\times A)$e infine denotano la distribuzione del prodotto da $\mathbb P_1\times \mathbb P_2$. Finalmente supponi che sappiamo\begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty.\end{align*} La mia domanda è se lo sia anche \begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty?\end{align*}

In particolare se è falso spero di vedere un controesempio e mi interesserebbe anche sapere se è vero nel caso $f(X,Y)=g(X)h(Y)$ per alcune funzioni $g$ e $h$.

Answer 1

Non è vero in generale.

Permettere $E_1 = E_2 = \mathbb{R}$, e lascia $\mu$ essere una misura di probabilità $\mathbb{R}$senza primo momento (es. distribuzione di Cauchy). Permettere$\mathbb{P}$ essere la legge congiunta di $(X, X)$ dove $X \sim \mu$. Infine lascia$f(x,y) = x-y$. Sotto$\mathbb{P}$, noi abbiamo $Y=X$ come, e quindi $f(X,Y)=0$ come, così $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|X-Y| = 0$. Ma sotto$\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2$, noi abbiamo $X,Y$ sono iid $\mu$, e ne consegue $\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} |X-Y| = \infty$. Per vedere questo, usa il teorema di Tonelli per scrivere$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} = \int \mathbb{E}|X-y| \,\mathbb{P}_1(dy)$$ dove l'integrando è identico $+\infty$, utilizzando $|X-y| \ge |X|-|y|$.

Non è nemmeno vero per $f(x,y) = g(x) h(y)$. Permettere$W$ essere una variabile casuale con un primo momento infinito e $Z$ una variabile casuale di Bernoulli (1/2) indipendente da $W$. Permettere$\mathbb{P}$ essere la legge congiunta di $(WZ, W(1-Z))$e impostare $f(x,y) = xy$, che è della forma $g(x) h(y)$. Poi$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|XY| = \mathbb{E} |W^2 Z (1-Z)| = 0$$ perché $Z(1-Z)=0$ come But $WZ, W(1-Z)$ sono distribuiti in modo identico, quindi abbiamo $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2}|XY| = (\mathbb{E}|WZ|)^2 = (\mathbb{E}|W| \cdot \mathbb{E}|Z|)^2 = \frac{1}{4} (\mathbb{E}|W|)^2 = \infty.$$