Seno di somma di prova

Question

Sto provando la formula $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$utilizzando la formula di Eulero. Questa formula di somma è necessaria per dimostrare la derivata del seno.

Mi chiedo solo se poi faccio un argomento circolare, poiché tutte le dimostrazioni della formula di Eulero che ho visto richiedono la conoscenza delle derivate di seno e coseno.

Answer 1

Ahlfors nel suo complesso libro di analisi definisce $e^z$ per soddisfare l'equazione $f'(z)=f(z)$ per tutti $z$ nel piano complesso, e $f(0)=1$. Da questa definizione deriva l'espansione in serie di potenze di$e^z$e mostra che converge ovunque. Inoltre mostra$e^{a+b}=e^ae^b$utilizzando la regola di Leibniz per i derivati. Quindi definisce$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ e $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. Da questa formula di Eulero è derivabile senza la derivata di$\sin$.