Separazioni Heegaard toroidali

Question

Supponiamo che io abbia una scissione di Heegaard di una 3-varietà irriducibile orientata chiusa $M$, definito dal diagramma di Heegaard $(\Sigma_{g},\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{g}\},\{\beta_{1},\dots,\beta_{g}\})$. Esistono ovvie condizioni sufficienti o necessarie per l'attacco delle curve per quando$M$ è toroidale (o atoroidale)?

Qualsiasi tipo di vantaggio sarebbe utile.

Answer 1

Nelle " 3-varietà viste dal complesso della curva " di Hempel , uno dei teoremi principali è un criterio necessario per essere toroidali. In particolare, mostra che se una 3-varietà è toroidale, allora tutte le sue scissioni Heegaard,$\Sigma$, avere $d(\Sigma) \leq 2$, dove $d$è la distanza di Hempel. Pertanto, seguendo la costruzione nella stessa carta per gli splittaggi Heegaard ad alta distanza, si ottiene una vasta collezione di collettori atoroidali con cui lavorare.

Andando nella direzione opposta, ecco un modo per ottenere tori in una 3-varietà data da una scissione di Heegaard (controllare se questi tori sono essenziali mi è meno chiaro). Supporre che$c_1$ e $c_2$ sono curve $\Sigma$ che delimitava un anello nel corpo della maniglia determinato dal tuo $\alpha$ curve, così come un anello nel corpo del manico determinato dal tuo $\beta$curve. Incollando questi anelli insieme si ottiene un toro nel tuo 3-collettore, intersecando la superficie di Heegaard in$c_1$ e $c_2$.

In pratica, un modo per costruirlo $c_i$ è iniziare con $c_1$ e "farlo scorrere" sul tuo $\alpha$curve in modo che questo scorrimento spazzi l'anello desiderato. Si può anche generalizzare questa costruzione alle collezioni$c_1 ... c_n$ dove $c_1$ e $c_2$ vincolato un anello in $\alpha $ manico, $c_2$ e $c_3$ vincolato un anello in $\beta$ handlebody ecc.

Answer 2

Ho trovato il documento "La proprietà della curva disgiunta e le varietà di genere 2" di Abigail Thompson, dove dimostra che se una divisione di Heegaard per una 3-varietà $M$ NON ha la proprietà curva disgiunta, quindi $M$ è atoroidale.

Permettere $M_{1}\cup_{\Sigma}M_{2}$ essere una divisione Heegaard per $M$. Quindi la divisione di Heegaard ha la proprietà curva disgiunta se esistono curve chiuse semplici essenziali$c, a$ e $b$ sopra $\Sigma$ dove $c$ è disgiunto da $a$ e $b$ sopra $\Sigma$, e $a$ delimita un disco in $M_{1}$, e $b$ delimita un disco in $M_{2}$.