Set Theory Proof of Set Difference

Question

Sto solo imparando le prove della teoria degli insiemi e sto lottando con quanto segue:

Prova che $(S_1 \setminus S_2) \cup (S_2 \setminus S_3) \subseteq (S_1 \cup S_2) \setminus(S_1 \cap S_2 \cap S_3)$

Ecco il mio tentativo finora:

1. Permettere $x \in (S_1 \setminus S_2) \cup (S_2 \setminus S_3)$ quindi lo sappiamo per definizione $x\in S_1 $e $ x \notin S_2$ o $x\in S_2 $e $ x \notin S_3$.
2. Così $x \in S_1$ o $x\in S_2$ e $x \notin S_2$ e $x \notin S_3$.
3. $(S_1 \cup S_2) \setminus(S_2\cap S_3)$

Non sono sicuro su come continuare questa prova o se i miei passaggi precedenti sono corretti. Qualsiasi aiuto o approfondimento è molto apprezzato. Grazie!

Answer 1

Fix $x\in (S_1\setminus S_2)\cup (S_2\setminus S_3)$.

Supponiamo prima che $x\in S_1\setminus S_2$. Poi$x\in S_1$, e così $x\in S_1\cup S_2$. Anche,$x\not\in S_2$, così $x\not \in S_1\cap S_2\cap S_3$. Perciò,$x\in (S_1\cup S_2)\setminus (S_1\cap S_2 \cap S_3)$.

Il caso $x\in S_2\setminus S_3$ è analogo.

Answer 2

Puoi anche usare set algebra per semplificare l'inclusione che devi dimostrare. Ricordalo per definizione$A\backslash B=A\cap B^c$.

Quindi abbiamo \ begin {equation} \ begin {split} (S_1 \ cup S_2) \ backslash (S_1 \ cap S_2 \ cap S_3) & = (S_1 \ cup S_2) \ cap (S_1 \ cap S_2 \ cap S_3) ^ c \\ & = (S_1 \ cup S_2) \ cap ({S_1} ^ c \ cup {S_2} ^ c \ cup {S_3} ^ c) \ end {split} \ tag {1} \ end {equation}

E per l'altro set, \ begin {equation} \ begin {split} (S_1 \ backslash S_2) \ cup (S_2 \ backslash S_3) & = (S_1 \ cap {S_2} ^ c) \ cup (S_2 \ cap {S_3 } ^ c) \\ & = (S_1 \ cup S_2) \ cap (S_1 \ cup {S_3} ^ c) \ cap ({S_2} ^ c \ cup S_2) \ cap ({S_2} ^ c \ cup {S_3 } ^ c) \\ & = (S_1 \ cup S_2) \ cap \ big ((S_1 \ cap {S_2} ^ c) \ cup {S_3} ^ c \ big) \ end {split} \ tag {2} \ end {equation}

Quindi da (1) e (2), è sufficiente dimostrarlo $$\big((S_1\cap {S_2}^c)\cup{S_3}^c\big)\subseteq({S_1}^c\cup {S_2}^c\cup {S_3}^c)$$ suggerimento: $(S_1\cap {S_2}^c)\subseteq S_2^c$