Sigma-algebre indotte e generate

Question

Permettere $(\Omega, \mathcal F)$ essere uno spazio misurabile, $\mathcal C \subseteq \mathcal F$ una raccolta di generatori e $B \in \mathcal F$un insieme misurabile. Mi chiedo se$$ \sigma(\mathcal C \cap B) = \sigma(\mathcal C) \cap B ; $$ in altre parole, esegue la sigma-algebra $B$ generato dagli elementi di $\mathcal C$ "limitato a" $B$ coincidono con la sigma-algebra indotta su $B$dalla sigma-algebra generata? Sopra, sto usando la notazione$\mathcal C \cap B = \{ A \cap B \, | \, A \in \mathcal C \}$, e $\sigma(\mathcal C) \cap B$ è definito allo stesso modo.

Sembra che dovrebbe essere facile da dimostrare, e almeno un'inclusione è ovvia: perché ogni elemento di $\mathcal C \cap B$ è dentro $\sigma(\mathcal C) \cap B$, noi abbiamo $\sigma(\mathcal C \cap B) \subseteq \sigma(\mathcal C) \cap B$, da $\sigma(\mathcal C) \cap B$ è una sigma-algebra su $B$. Tuttavia, non so se l'inclusione inversa sia vera. La mia idea è descrivere esplicitamente i set in$\sigma(\mathcal C)$. Nella mia notazione, questa pagina di Wikipedia dice: "$\sigma(\mathcal C)$ consiste di tutti i sottoinsiemi di $\Omega$ che può essere fatto da elementi di $\mathcal C$ da un numero numerabile di operazioni di complemento, unione e intersezione. "Se questo è vero, allora potrebbe essere possibile prendere un insieme $A \cap B \in \sigma(\mathcal C) \cap B$, rappresentano $A$ come descritto e "spostati" all'incrocio con $B$ con tutte le operazioni di unione / intersezione / complemento da cui $A$è derivato. Ad esempio, supponi$A = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$ è un'unione numerabile di elementi di $\mathcal C$. Poi$$ A \cap B = \bigcup_{i=1}^\infty (A_i \cap B) , $$ e il lato destro è ora dentro $\sigma(\mathcal C \cap B)$. Tuttavia, questo sembra possibile solo quando$A$è derivato da un numero finito di tali operazioni, come sopra (che io considero una singola operazione di unione). Questo mi porta a due domande:

1. Come può essere formulata la descrizione di Wikipedia? Credo che possa essere letto come$$ \sigma(\mathcal C) = \bigg\{ \mathop{\color{red}{\ast}}\limits_{i_1=1}^{\infty} \mathop{\color{red}{\ast}}\limits_{i_1=2}^{\infty} \dotso \mathop{\color{red}{\ast}}\limits_{i_n=1}^{\infty} B_{i_1, \dotsc, i_n} \, \bigg| \, B_{i_1,\dotsc,i_n} \in \mathcal C \cup \{\varnothing\} \text{ or } B_{i_1,\dotsc,i_n}^c \in \mathcal C \bigg\} , $$ dove ciascuno $\color{red}{\ast}$ può rappresentare uno dei due simboli $\bigcap$ o $\bigcup$, per grave mancanza di una migliore notazione. Ecco i set$B$ sono gli elementi di $\mathcal C$e i loro complementi, o l'insieme vuoto. A meno che non mi sbagli, la raccolta scritta sopra è una sigma-algebra contenente$\mathcal C$, e si vede facilmente che è il più piccolo di questi.
2. Supponendo che la raccolta sopra descritta descriva correttamente $\sigma(\mathcal C)$, questo dovrebbe dimostrare l'inclusione inversa, cioè $\sigma(\mathcal C) \cap B \subseteq \sigma(\mathcal C \cap B)$. C'è un modo per mostrare questa inclusione che non si basi su una descrizione esplicita di$\sigma(\mathcal C)$?

Answer 1

Permettere $$ {\cal D}:= \{A\in\sigma({\cal C})\ |\ A\cap B\in\sigma({\cal C}\cap B)\,\}\ . $$ Poi

• $ {\cal C}\subseteq{\cal D} $.
• Se $\ A\ \in {\cal D}\ $, poi $\ (\Omega\setminus A)\cap B=B\setminus(A\cap B)\in\sigma({\cal C}\cap B)\ $ perché $\ A\cap B \in\sigma({\cal C}\cap B)\ $, e così $\ (\Omega\setminus A)\in{\cal D}\ $.
• Se $\ A_i\in {\cal D}\ $ per $\ \ i=1,2,\dots\ $ poi $\ A_i\cap B\in\sigma({\cal C}\cap B)\ $ per tutti $\ i\ $. Perciò$\ \displaystyle \left(\bigcup_iA_i\right)\cap B=\bigcup_i\left(A_i\cap B\right)\in \sigma({\cal C}\cap B)\ $, e così $\ \displaystyle\bigcup_iA_i\in {\cal D}\ $.

Quindi, $\ {\cal D}\ $ è un $\sigma$-algebra contenente $\ {\cal C}\ $, e quindi $\ \sigma({\cal C})\subseteq{\cal D}\ $. Quindi se$\ D\in\sigma({\cal C})\cap B\ $ poi $\ D=A\cap B\ $ per alcuni $\ A\in \sigma({\cal C})\subseteq{\cal D}\ $, il che implica $\ A\cap B\in\sigma({\cal C}\cap B)\ $. Perciò$\sigma({\cal C})\cap B\subseteq \sigma({\cal C}\cap B)\ $.