spazio perfettamente normale

Question

Se $X$ è uno spazio topologico di Hausdorff, diciamo così $X$ è perfettamente normale se, per ogni serie chiusa $A$, esiste una funzione continua $f_A:X\rightarrow[0,1]$ tale che $f_A^{-1}(0)=A$.

Dimostra che gli spazi perfettamente normali sono normali.

Il mio sforzo: supponi $A$ e $B$sono due insiemi chiusi disgiunti. Definire$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ se e solo se $x\in A$, e $g(x)=1$ se e solo se $x\in B$.

Finché posso provare $g:X\rightarrow [0,1]$è continuo, ho finito. Ma non so come dimostrarlo è continuo.

Answer 1

Un altro modo può essere quello di vedere la tua mappa $g$ come la seguente composizione

$g=G\circ (f_A,f_B)$ dove

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

e

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

dove $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

E la mappa lo è $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

questo è continuo nel suo dominio. Questa mappa continua per lo stesso ragionamento di Kavi Rama Murthy.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ e $f_A(x)+f_B(x) = 0$ se e solo se $f_A(x)=f_B(x)=0$ se e solo se $x \in A$ e $x\in B$cosa impossibile. Quindi$g$è il rapporto tra due funzioni continue in cui il denominatore non svanisce mai. Questo implica che$g$ è continuo.