Stimatore OLS risolto da matrice

Question

Sono ancora confuso. Se ho il modello:$y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Devo dimostrare che lo stimatore OLS è:

Penso che devo usare $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Ma sono un po 'confuso. Ora penso che:$$ X = \left[ \begin{array}{ccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$. E se trovo$(X^tX):$ $$ X^tX = \left[ \begin{array}{ccc} \sum_{i} X_{i1}X_{i1} & \sum_{i} X_{i1}X_{i2} \\ \sum_{i} X_{i1}X_{i2} & \sum_{i} X_{i2}X_{i2} \end{array} \right]. \qquad\qquad $$. Ma non riesco a trovare$(X^tX)^{-1}$ perché $\frac{1}{ad-bc}$ e il denominatore nella frazione darà $0$? Cosa posso fare invece ???

Answer 1

Se $$ X^tX = \left[ \begin{array}{ccc} \sum_{i} X_{i1}X_{i1} & \sum_{i} X_{i1}X_{i2} \\ \sum_{i} X_{i1}X_{i2} & \sum_{i} X_{i2}X_{i2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \sum_{i} X^2_{i1} & \sum_{i} X_{i1}X_{i2} \\ \sum_{i} X_{i1}X_{i2} & \sum_{i} X^2_{i2}\end{array} \right]. \qquad\qquad $$

Poi $$det(X^tX) = \left( \sum_{i} X^2_{i1}\right)\left(\sum_{i} X^2_{i2}\right) - \left(\sum_{i} X_{i1}X_{i2}\right)^2$$che non vedo perché dovrebbe essere zero. Quindi utilizzando:$$ (X^tX)^{-1} = \frac{1}{det(X^tX)} \left[ \begin{array}{ccc} \sum_{i} X^2_{i2} & - \sum_{i} X_{i1}X_{i2} \\ -\sum_{i} X_{i1}X_{i2} & \sum_{i} X^2_{i1} \end{array} \right]. \qquad\qquad $$ porta al risultato atteso per $\beta_1$.