Subbundle e definizione di forme differenziali

Question

Sto leggendo Introduzione a Smooth Manifolds di John Lee e sono rimasto bloccato nella definizione del bundle $\Lambda^kT^*M$.

Permettere $M$ essere un $n$ collettore regolare dimensionale, $\Lambda^k(T^*_pM)$ essere il $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ sottospazio dimensionale del prodotto tensoriale $T^k(T^*_pM)$, poi si definisce $\Lambda^kT^*M:=\bigsqcup_{p\in M}\Lambda^k(T^*_pM)$. A causa del Lemma 10.32 di John Lee, ho bisogno di trovare$\frac{n!}{k!(n-k)!}$ sezioni locali $\sigma_i:U\to T^kT^*M$ del fascio tensore $T^kT^*M$ in qualche quartiere aperto $U\subset M$ di $p$, tale che $\{\sigma_i(q)\}\subset\Lambda^k(T^*_qM)$ è una base dello spazio vettoriale, per qualsiasi $q\in U$. Poi$\Lambda^kT^*M$ è un sottobundle di $T^kT^*M$ dal lemma.

Ecco la mia domanda: come trovo queste sezioni locali? Posso solo affermare che sono quelle che mappano un punto della varietà a un tensore alternato?

Answer 1

È necessario sostenere che tali sezioni esistono effettivamente, ad esempio costruendole.

Scegliere $U$ contenuto in un unico grafico a coordinate, la scelta standard del frame locale con indici $1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n$ è il prodotto antisimmetrico di coordinate $1$-le forme. $$ dx^{i_1}\wedge\dots\wedge dx^{i_k}:=\sum_{\pi\in S_k}\operatorname{sgn}(\pi)dx^{i_{\pi(1)}}\otimes\dots\otimes dx^{i_{\pi(k)}} $$ Dove $S_k$ è l'insieme delle permutazioni di $\{1,\cdots,k\}$ e $\operatorname{sgn}$denota il segno di una permutazione. Si può verificare che siano fluidi$T^kT^*M$ e span $\Lambda^kT^*M$.