Sulla prova di un risultato di Bayer e Stillman
Sto leggendo l'articolo Un criterio per rilevare la m-regolarità di Bayer e Stillmann e mi sono imbattuto in una dimostrazione, di cui non capisco un'implicazione.
Potrebbe essere necessario menzionare le seguenti cose:
- $S = k[x_1,\ldots,x_n]$, $I \subset S$ è un ideale omogeneo e $M$ un classificato $S$-modulo
- $\mathfrak{m}$ = $(x_1,\ldots,x_n)$ denota l'ideale massimale irrilevante di $S$
- $H_{\mathfrak{m}}^{i}(M)_d$ indicherà il grado $d$ parte di $i$-th gruppo di coomologia locale di $M$
- $I$ è $m$-regolare se $H_{\mathfrak{m}}^{i}(I)_d = 0 $ per tutti $i$ e $d \geq m-i+1$.
- $I$ è $m$-saturo se $I^{\textit{sat}}_d = I_d$ per tutti $d \geq m$.
- $h \in S$ è chiamato generico per $I$ Se $h$ non è un divisore zero su $S/I^{\textit{sat}}$
Riguarda il seguente Lemma:
Lemma 1.8: Let $I \subset S$ essere un ideale, e supponiamo $h\in S_1$ è generico per $I$. TFAE:
(un) $I$ è $m$-regolare
(b) $I$ è $m$-saturo e $(I,h)$ è $m$-regolare
La prova della direzione $(a)\implies(b)$ Somiglia a questo:
Prova. Da$I$ è $m$-regolare, ne consegue $I$ è $m$-saturato da un'osservazione precedente (1.3 in carta). (Quindi, resta da dimostrare che$(I,h)$ è $m$-regolare).
Permettere$Q = (I:h)/I$per ottenere una sequenza esatta \ begin {equation} 0 \ rightarrow I \ rightarrow (I: h) \ rightarrow Q \ rightarrow 0. \ end {equation} Poiché$I$ è $m$-saturo e $h$ generico per $I$, da un precedente Lemma (1.6 nell'articolo) ne segue $I_d = (I:h)_d$ per tutti $d \geq m$ e quindi $\dim(Q) = 0.$ Quindi, $H_{\mathfrak{m}}^{i}(Q) = 0$ per $i \neq 0$, e $H_{\mathfrak{m}}^{0}(Q) = Q$.
Quindi, dalla lunga sequenza esatta per la coomologia locale otteniamo \ begin {equation} \ tag {$\star$} H _ {\ mathfrak {m}} ^ {i} (I) _d \ cong H _ {\ mathfrak {m}} ^ {i} ((I: h)) _ d \ text {per} d \ geq m -i +1 \ text {e tutti} i. \ end {equation} Considerando la sequenza esatta \ begin {equation} 0 \ rightarrow I \ cap (h) \ rightarrow I \ oplus (h) \ rightarrow (I, h) \ rightarrow 0. \ end {equation} e il fatto quello$I\cap(h) = (I:h)h$, otteniamo \ begin {equation} 0 \ rightarrow (I: h) (- 1) \ rightarrow I \ oplus (h) \ rightarrow (I, h) \ rightarrow 0, \ end {equation} che porta a \ begin { equazione} \ tag {$\star \star$} H _ {\ mathfrak {m}} ^ {i} (I \ oplus (h)) _ d \ rightarrow H _ {\ mathfrak {m}} ^ {i} ((I, h)) _ d \ rightarrow H _ {\ mathfrak {m}} ^ {i + 1} ((I: h)) _ {d-1}. \ end {equation}
Finora penso di poterlo seguire, ma nel documento la dimostrazione si conclude nel modo seguente:
A partire dal $(\star\star)$ e l'isomorfismo $(\star)$ ne consegue che $(I,h)$ è $m$-regolare.
Domanda: se ce l'ho$H_{\mathfrak{m}}^{i}((I,h))_d = 0 $ per tutti $i$ e $d \geq m-i+1$, quindi la conclusione segue per definizione. Tuttavia, non vedo come$(\star\star)$ e $(\star)$implica questo.
Da$I$ è $m$-regolare $H_{\mathfrak{m}}^{i}(I)_d = H_{\mathfrak{m}}^{i}((I:h))_d = 0 $ per tutti $i$ e $d \geq m-i+1$. Ma penso che non sia sufficiente per concludere il risultato.
Cosa mi manca risp. perché quanto sopra è sufficiente per concludere la dimostrazione?
Non ho familiarità con il concetto di coomologia locale, quindi l'implicazione può essere ovvia, ma non riesco a vederla.
Risposte
Espandendo il commento di Youngsu:
Abbiamo l'isomorfismo $$H_{\mathfrak{m}}^{i}(I)_d \cong H_{\mathfrak{m}}^{i}((I:h))_d \text{ for } d \geq m -i+1 \text{ and all } i\tag{$\stella$}$$ e la sequenza esatta $$H_{\mathfrak{m}}^{i}(I\oplus(h))_d \rightarrow H_{\mathfrak{m}}^{i}((I,h))_d\rightarrow H_{\mathfrak{m}}^{i+1}((I:h))_{d-1}.$$ Dobbiamo dimostrarlo $H_{\mathfrak{m}}^{i}((I,h))_d = 0 $ per $d \geq m-i+1$ e tutto $i$.
Notare che $H_{\mathfrak{m}}^{i}(I\oplus(h))\cong H_{\mathfrak{m}}^{i}(I)\oplus H_{\mathfrak{m}}^{i}((h))$(vedi ad esempio [1] ). Poi abbiamo$(h)\cong S(-1)$ come $S$-moduli. Così,\begin{align} H_{\mathfrak{m}}^{i}(I\oplus(h))_d &=H_{\mathfrak{m}}^{i}(I)_d\oplus H_{\mathfrak{m}}^{i}(S(-1))_d\\ &=H_{\mathfrak{m}}^{i}(I)_d\oplus H_{\mathfrak{m}}^{i}(S)_{d-1}.\\ \end{align} Ricordiamo che le coomologie locali dell'anello polinomiale $S=k[x_1,\ldots,x_n]$ è dato da $$H_{\mathfrak{m}}^{i}(S)_d=\begin{cases}\operatorname{Hom}_k(S_{-n-d},k),&i=n\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$$(vedi [Eisenbud, Cor.10.9] ). Così$H_{\mathfrak{m}}^{i}(I\oplus(h))_d=0$ per tutti $d\geq m-i+1$ e $i\neq n$. Supporre che$i=n$ e $d\geq m-n+1$. Poi abbiamo$$H_{\mathfrak{m}}^{n}(I\oplus(h))_d=H_{\mathfrak{m}}^{n}(I)_d\oplus H_{\mathfrak{m}}^{n}(S)_{d-1}=0\oplus \operatorname{Hom}_k(S_{-n-d+1},k).$$ Da $d\geq m-n+1$, noi abbiamo $0\geq -m\geq -n-d+1$, così $S_{-n-d+1}=0$. Perciò,$H_{\mathfrak{m}}^{n}(I\oplus(h))_d=0$ per tutti $d\geq m-n+1$. Così il termine di sinistra della sequenza esatta svanisce per tutti$d\geq m-n+1$.
Infine, considera il termine di destra. Per$d\geq m-i+1$, noi abbiamo $d-1\geq m-(i+1)+1$, così $H_{\mathfrak{m}}^{i+1}((I:h))_{d-1}$ è isomorfo a $H_{\mathfrak{m}}^{i+1}(I)_{d-1}$ di $(\star)$. Come$I$ è $m$-regolare, ne consegue $H_{\mathfrak{m}}^{i+1}((I:h))_{d-1}=0$ per tutti $d\geq m-i+1$. Da qui il termine medio$H_{\mathfrak{m}}^{i}((I,h))_d$ svanisce anche per $d \geq m-i+1$ e tutto $i$.