Tasso di sostituzione marginale per complementi perfetti
Ho riscontrato il seguente problema:
Determina il tasso marginale di sostituzione MRS (x1, x2) nel punto (x1, x2) = (5,1) per la seguente funzione:
u (x1, x2) = min (x1, x2).
La soluzione è che l'MRS non è definito a quel punto.
Tuttavia, non capisco perché sia così. Con questa funzione di utilità si ottiene un percorso di espansione del reddito che va esattamente a 45 gradi dall'origine, perché i due beni vengono sempre consumati in quantità uguali. E per quanto ne so, la MRS di tale funzione (u (x1, x2) = min (αx1, βx2)) è indefinita solo agli angoli esatti di queste curve, cioè dove x2 = (α / β) x1. Nel problema in questione, tuttavia, abbiamo x2 <(α / β) x1, cioè 1 <5. Questo non dovrebbe significare che la MRS nel punto (5, 1) è effettivamente 0 e non indefinita?
Risposte
Penso che questa sia una specie di domanda trabocchetto.
Innanzitutto, hai perfettamente ragione MRS è indefinito al nodo - questo è banale MRS è la curva di pendenza di indifferenza, che in questo caso è a forma di L, e le derivate non sono definite sul nodo.
Quindi questo ci lascia con altre due parti della funzione a forma di L. La parte verticale e la parte orizzontale.
Sulla porzione orizzontale della curva di indifferenza $\alpha x_1 > \beta x_2$ la MRS è data come:
$$MRS= \frac{U'_{x_1}}{U'_{x_2}} = \frac{0}{\beta}= 0 $$
Quindi qui la MRS è chiaramente definita.
Tuttavia, nella parte verticale dove $\alpha x_1<\beta x_2$ avremo un problema poiché:
$$MRS = \frac{U'_{x_1}}{U'_{x_2}} = \frac{\alpha}{0} = \infty | x_1 \wedge x_2 \geq 0 $$
ma qui a causa della divisione per $0$ alcune persone dicono ancora che la MRS non è definita.
Tuttavia, la parte difficile qui è la scelta di quale bene va avanti $x$-axis e che va bene $y$-axis è arbitrario. Di solito la gente metteva$x_1$ su $x$-asse e $x_2$ su $y$-axis ma va bene in linea di principio mettere $x_1$ su $y$-asse e $x_2$ su $x$-asse. In tal caso il risultato sopra sarebbe esattamente invertito.
Se questo è per un esame, spesso le persone che redigono esercizi creano solo una semplice chiave di risposta che potrebbe non coprire tutte le possibili soluzioni e forse la chiave di risposta include l'opzione in cui il loro ruolo è stato invertito.
Prima mi sbagliavo. Sono d'accordo con te, sembra che dovrebbe essere zero, e solo indefinito al nodo, dove le derivate delle funzioni di utilità non esistono.
Pensa all'utilità Leontief come all'utilità CES in cui $\lim \rho \rightarrow \infty$. L'utilità CES è:$$U(x_1,x_2, \rho) = (x_1^\rho + x_2^\rho) ^{1/\rho}$$ La MRS di una funzione di utilità CES è: $$MRS = - (\frac{x_1}{x_2})^{\rho-1} $$ Prendendo il limite come $\rho \rightarrow \infty$: $$MRS = -(\frac{x_1}{x_2})^{\infty}$$ quando $x_2 > x_1$l'MRS è negativo è negativo infinito. quando$x_1 > x_2$ (come è qui), l'MRS è 0. Quando $x_1 = x_2$, la funzione di utilità Leontief non è differenziabile e questa funzione non esiste.
Fonte:
Note di lezione sulla teoria microeconomica di Guoqiang Tian (2013)