Teorema bipolare

Question

Sono rimasto bloccato con il seguente problema mentre esaminavo la dimostrazione di Lemma$1.9$(i) dal libro "Lectures on von Neumann Algebras" di Strătilă e Zsidó.

Permettere$\mathscr{B}$essere uno spazio Banach e$\mathscr{B}^*$essere il duale di$\mathscr{B}$. Permettere$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$essere un sottospazio vettoriale chiuso a norma tale che$\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$(cioè isometricamente isomorfa) attraverso la forma canonica bilineare su$\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Considera il$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-topologia attiva$\mathscr{B}$che è definito dalla famiglia delle semi-norme$\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, dove$p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$per$x\in \mathscr{B}$. Permettere$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$essere un$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-sottospazio vettoriale chiuso.

Problema: se$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, quindi dimostralo$\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.

Gli autori chiamano$\mathscr{M}^{\circ}$la polare di$\mathscr{M}$e poi dice che la conclusione segue dal teorema bipolare. Ma non ho trovato alcun riferimento per quel "teorema bipolare". Quindi qualcuno potrebbe aiutarmi con un riferimento adeguato per quel "teorema bipolare" insieme alla soluzione. Grazie in anticipo.

Answer 1

Permettere$$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$abbiamo$\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$per definizione di$\mathscr M^o$. Supponiamo che esista$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. Come$\mathscr M$è convesso e$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-chiuso, da Hahn-Banach esiste$\varphi$, lineare e$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-continua, con$\varphi(z)=1$e$\varphi|_{\mathscr M}=0$. Il$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-i funzionali continui sul duale dello spazio localmente compatto sono proprio quelli nel preduale (si veda, ad esempio, il Teorema V.1.3 in A Course in Functional Analysis di Conway ); Così$\varphi\in\mathscr B_*$. Quindi$\varphi\in\mathscr M^o$; come$z\in\mathscr M^{oo}$, noi avremmo$\varphi(z)=0$, una contraddizione. Così$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.