Teorema di Noether generalizzato

Question

Il testo che sto leggendo afferma che se esiste una simmetria generata da $Q$e sotto questa trasformazione un operatore si trasforma di$$f\rightarrow f +\delta f,$$ poi dal teorema di Noether $$\delta f = i\epsilon[Q, f].$$

Tuttavia, questo non è il teorema di Noether a cui sono abituato, che vedo essere simile a questa affermazione, ma solo per le traduzioni temporali (con generatore $H$). Come si fa a mostrare questa generalizzazione del teorema di Noether?

Answer 1

Questa sembra non essere precisamente l'affermazione del teorema di Noether, ma la conseguenza dell'equazione del moto di Liouville: $$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + i \{Q, f\} $$ Dove $\{,\}$-denota parentesi di Poisson. Di solito vedrai hamiltoniano$H$ invece di $Q$. Tuttavia, qualsiasi accusa può essere trattata allo stesso modo di Hamiltionian. E per i piccoli$\epsilon$, e $f$ non dipendente esplicitamente dal tempo, dà: $$ \delta f = i \epsilon \{Q, f\} $$ Come affermato

Answer 2

Penso che potresti voler dare un'occhiata

Baez, JC (2020). Arrivare alla fine del teorema di Noether. prestampa arXiv arXiv: 2006.14741.

dove credo discuta una versione del teorema di Noether formulata in questo modo nella sezione 2.

A pagina 15 in particolare, discute una versione del teorema di Noether che è espressa come parentesi di Poisson di due cose che sono zero. Non hai definito$\epsilon$ sopra, ma penso che forse fa parte del calcolo della notazione che stai usando (e per ora non lo conosco ancora), e potrebbe essere equivalente a ciò che è scritto nell'articolo di Baez.

Infatti la differenza tra i due mi ricorda qualcosa che ho letto di recente a questa soluzione riguardo al pensiero delle derivazioni (l'ultima riga subito prima della riga Proof of [1]), che potrebbe spiegare la transizione.