Test comparativo per la serie
Voglio verificare che la serie data sia convergente o divergente.
$\Sigma_{n=2}\frac {(-i)^n}{\ln n} $, ($z_n = \frac {(-i)^n}{\ln n}$)
Lo so per $n >1 $, $\ln n< n$tiene. Quindi, utilizzando il test comparativo,$\Sigma_{n=2} \frac{1}{n} $ diverge così $\Sigma_{n=2}\frac {1}{\ln n} $diverge anche. Ma per quanto riguarda$\Sigma_{n=2}\frac {(-i)^n}{\ln n} $? Devo controllare la divergenza di serie$z_n$, non per la serie $|z_n|$ e mi sono confuso ...
ps Quando si controlla la convergenza delle serie, è abbastanza ovvio testare solo per la serie $|z_n|$caso perché la convergenza assoluta implica convergenza. Ma per quanto riguarda il caso di divergenza?
Risposte
La tua ps è sbagliata. Ci sono serie come$\sum (-1/n)^n$ che convergono mentre la serie dei valori assoluti diverge.
La tua serie è una di queste. In effetti possiamo scrivere $$\sum _{n=2}^{\infty } \frac{(-i)^n}{\log (n)}=\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-i)^{2 n}}{\log (2 n)}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-i)^{2 n+1}}{\log (2 n+1)}$$ Il primo può essere riscritto come $$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{ n}}{\log (2 n)}$$ che converge per il criterio di Leibniz perché il termine generale tende a zero
L'altra serie può essere scritta come $$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-i)^{2 n+1}}{\log (2 n+1)}=i\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n+1}}{\log (2 n+1)}$$ che converge per lo stesso test di cui sopra.