The Two Envelope Game Show
Questo è un indovinello originale che ho creato, fortemente ispirato al problema delle due buste . Ho la mia risposta a questo problema, ma (divulgazione completa) anche io non sono sicuro al 100% di aver capito bene. Lo posto metà perché mi sembra molto interessante e metà perché voglio vedere se gli altri sono d'accordo con il mio ragionamento. Godere.
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Jack è invitato a un nuovo game show condotto dal suo conduttore di giochi preferito, Monty Hall. Per iniziare, Monty dà il benvenuto a Jack e gli mostra le ultime novità della rivoluzionaria tecnologia degli anni '70, una slot machine! Ma non solo una qualsiasi slot machine. Quando una busta "scommesse" contenente contanti o un assegno viene posta davanti a questo dispositivo e la leva viene tirata, la analizzerà e distribuirà una busta "premio". Il 50% delle volte la busta della ricompensa conterrà il doppio del valore di ciò che era nella busta delle scommesse e il restante 50% delle volte conterrà solo la metà del valore di ciò che era nella busta delle scommesse. Veramente una meraviglia dei secoli.
Monty passa Jack \$100 in \$10 dollari e chiede se vuole prendere la scommessa e giocare alla macchina. Dopo aver studiato alcune statistiche di base in preparazione di venire qui, Jack è pronto a vincere più soldi possibile e ripercorre un po 'di matematica nella sua testa. Lo capisce se scommette$10, half the time he wins \$20, l'altra metà \$5. This gives him an expected value for each game he plays of \$12.50.
(\$20 * 0.5) + (\$5 * 0,5) = \ $ 12,50
Questa macchina sta praticamente stampando denaro!
Jack gioca 10 volte, vincendo 5 partite e perdendone 5, dandogli $ 125. Grato che lo studio delle statistiche abbia finalmente dato i suoi frutti, sta per andarsene quando Monty annuncia che Jack ha vinto il diritto di giocare al gioco bonus contro Kirby, l'odiato rivale di Jack dai tempi del liceo!
Viene tirato fuori un carrello contenente 20 buste sigillate. Monty spiega che ogni busta contiene un assegno con un valore che è un multiplo di \$2. The prizes are \$2, \$4, \$8, \$16, and so on doubling each time, up to the most valuable envelope containing \$1.048.576. Jack sceglierà una di queste buste a caso e la farà analizzare dalla slot machine.
Il gioco si svolge come segue: Jack riceverà tutto ciò che è nella busta delle scommesse originale, mentre Kirby riceverà la busta della ricompensa. Ognuno di loro potrà aprire la propria busta e vedere cosa c'è dentro, ma non dirlo all'altro giocatore. Hanno quindi la possibilità di scambiare con la busta dell'altra persona. Se entrambi i giocatori accettano di scambiare, le buste vengono scambiate. Se uno di loro non vuole fare trading, allora tengono entrambi la busta con cui hanno iniziato.
Jack sceglie una busta casuale tra le 20, lascia che la macchina la analizzi, quindi la apre per trovare \ $ 512. Ricorda come ha vinto soldi giocando a questa macchina in precedenza e chiede ansiosamente di scambiare le buste con Kirby, poiché sa che la busta della ricompensa ha sempre un valore atteso migliore.
Nel frattempo, Kirby apre la busta della ricompensa e trova \ $ 256. Kirby sostiene che ci sono solo due possibilità, o Jack ha \$128 and the machine doubled it, or Jack has \$512 e la macchina lo tagliò a metà. Secondo le regole di questo gioco, questi due scenari hanno la stessa probabilità di verificarsi. In altre parole, è uno scatto 50/50 per quale di questi due scenari si è verificato. Ciò significa che il suo valore atteso per il trading è \$320, which is more than the \$256 ha.
(\$512 * 0.5) + (\$128 * 0,5) = \ $ 320
Kirby accetta lo scambio ed entrambi gli uomini se ne vanno sentendo di aver avuto la meglio sull'altro.
Uno di loro ha commesso un errore?
Risposte
Penso che la risposta sia ...
Hanno entrambi torto.
perché
Normalmente Jack dovrebbe offrirsi di scambiare se è sicuro che lo scambio sarà accettato in entrambi i casi. Ma non è così.
Jack prende una busta con un importo compreso tra$2^1$ e $2^{20}$. Kirks riceve una busta con in mezzo$2^0$ e $2^{21}$.
Se Kirby trova$2^{20}$ o $2^{21}$saprà di avere la busta più alta e non proporrà uno scambio.
Se Jack vede$2^{19}$ o $2^{20}$può aspettarsi che l'altra busta sia in media più preziosa e proporrebbe uno scambio.
Ma aspetta! Se Kirk ha davvero l'inviluppo più alto,$2^{20}$ o $2^{21}$, si rifiuterà di scambiare. L'unico modo per accettare lo scambio è se Kirby ha la busta inferiore. Quindi Jack non dovrebbe offrirsi di scambiare un file$2^{19}$ o $2^{20}$.
Una volta che Kirby capisce che sa che se ottiene un$2^{18}$ o $2^{19}$ Jack non cambierà il suo $2^{19}$ o $2^{20}$. L'unico modo per accettare lo scambio è se Jack ha la busta inferiore. E quindi Kirby dovrebbe tenere duro$2^{18}$ o $2^{19}$.
E così via, fino in fondo.
Il risultato è che indipendentemente dall'importo (tranne forse \ $ 1) né Jack né Kirby dovrebbero proporre lo scambio.
Non è un paradosso come nel paradosso dell'impiccagione inaspettato perché alla fine, quando un giocatore vede \ $ 1 o \ $ 2, sa che è la busta più piccola, proporrebbe uno scambio ma verrebbe rifiutato. Non c'è paradosso, abbiamo solo un giocatore che sa di avere la busta più piccola ma non può farci niente.
Penso che la risposta sia ...
Entrambi i calcoli sono corretti. L'apparente paradosso non è in realtà un paradosso; è semplicemente una differenza di stime tra due parti a causa di incompletezza delle informazioni .
Analisi:
A Jack viene data una scelta uniformemente casuale tra 20 buste possibili e la slot machine può produrre il doppio o la metà dell'input con uguale probabilità. In totale, l'intera situazione sarà uno dei 40 risultati ugualmente probabili:$$ \begin{array}{c|cc}\text{Jack} & \text{Kirby(Halve)} & \text{Kirby(Double)} \\\hline 2 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 8 \\ 8 & 4 & 16 \\ 16 & 8 & 32 \\ 32 & 16 & 64 \\\hline 64 & 32 & 128 \\ 128 & 64 & \bbox[yellow]{256} \\ 256 & 128 & 512 \\ \bbox[yellow]{512} & \bbox[yellow]{256} & 1024 \\1024 & 512 & 2048 \\\hline 2048 & 1024 & 4096 \\ 4096 & 2048 & 8192 \\ 8192 & 4096 & 16384 \\16384 & 8192 & 32768 \\ 32768 & 16384 & 65536 \\\hline 65536 & 32768 & 131072 \\131072 & 65536 & 262144 \\ 262144 & 131072 & 524288 \\ 524288 & 262144 & 1048576 \\1048576 & 524288 & 2097152\end{array}$$
L'unica informazione a disposizione di Jack è che ha \ $ 512, quindi dal punto di vista di Jack, il valore atteso della busta di Kirby è effettivamente $ (256 + 1024) / 2 = 640> 512 $ .
L'unica informazione a disposizione di Kirby è che ha \ $ 256, quindi dal punto di vista di Kirby, il valore atteso della busta di Jack è effettivamente $(128+512)/2 = 320 > 256$. Per essere più sicuri, possiamo valutare le probabilità condizionali:
$$\begin{align}P(J=512 \mid K=256) &= \frac{P(J=512 \wedge K=256)}{P(K=256)} = \frac{1/40}{2/40} = \frac12 \\P(J=128 \mid K=256) &= \frac{P(J=128 \wedge K=256)}{P(K=256)} = \frac12\end{align}$$
Pertanto, concludiamo che entrambi i calcoli erano corretti; Jack è stato sfortunato e Kirby è stato fortunato questa volta. Nota che non c'è niente di sbagliato nel perdere denaro in una prova quando ci si aspetta di guadagnare denaro (il valore atteso è solo una media attesa su un gran numero di prove). Nota anche che Kirby si rifiuterà di scambiare se ha \ $ 1048576 o superiore.
Rivisto per includere un percorso ricorsivo a una prospettiva del risultato di una situazione che non si è verificata.
Uno di loro ha commesso un errore?
Questa domanda è più interessante del resto di questa frase ma, in poche parole,. . . .
. . . no, nessuno dei due giocatori ha commesso un errore, ma solo perché le loro buste hanno \$512 and \$256 insieme al fatto che. . . .
. . . sia Jack (J) che Kirby (K) non sono dei logici perfetti ed entrambi avevano strategie non ottimali.
Come tale, . . . .
. . . entrambi erano destinati a offrire uno scambio con quegli importi \ $ e, inoltre, entrambi calcolavano correttamente i guadagni probabilisticamente attesi. . .
. . . il che è chiaro nella spiegazione di Bubbler .
Il gioco avrebbe un esito diverso, tuttavia, se entrambi i giocatori fossero dei logici perfetti e lo sapessero l'uno dell'altro.
Scenario: J e K sono logici perfetti reciprocamente noti
In questo scenario non si verificherebbe mai uno scambio poiché J non ne offrirebbe mai uno.
Un esempio ridotto dimostra come questo andrebbe a finire con 10 buste gemellate che consentono calcoli puliti.
Due buste scommesse ciascuna di \ $ 2, \$4, \$8, \$16 and \$32 per Jack.
Prob- Jack Kirby
abilità (J) (K)
.1 $2 $1 (solo 1 modo per K per avere $ 1)
.1 $2 $4
.1 $4 $2 (solo 1 modo per K per avere $ 2)
.1 $4 $8
.1 $8 $4 (2 modi ciascuno per K per avere $ 4, $ 8 o $ 16)
.1 $8 $16
.1 $16 $8
.1 $16 $32 (solo 1 modo per K per avere $ 32)
.1 $32 $16
.1 $32 $64 (solo 1 modo per K per avere $ 64)
K non offrirà uno scambio a $32 or $64 in quanto tali swap perderebbero sicuramente denaro.
Il modello di ogni giocatore dell'altro giocatore include l'incertezza che bolle ricorsivamente fino alle due possibilità che K ha \$32 or \$64 e non si offre di scambiare. Se entrambi i giocatori avessero pensato che l'un l'altro avrebbe visto come funziona, quelle due possibilità avrebbero influenzato la possibilità che si è verificata.
Supponiamo che J abbia il minimo \$2 and considers two models of K, one model where K has \$1 e l'altro dove K ha \$4. J muses that the possible K who has \$4 considererebbe anche due modelli di un possibile J dove J ha uno \$2 or \$8. L'esecuzione di questa operazione produce un sistema di radici ricorsive simile a un frattale che si sovrappone a se stesso per formare un reticolo infinito il cui margine destro termina in uno dei due modelli di una possibile K che ha o \$32 or \$64 e non si offrirà di scambiare.
J ha $ 2
/ \
/ \
/ \
/ \
$2 J's model of K has $1 $2 J's model of K has $4
\ / \
\ / \
\ / \
$2 J's model of \ / \ $1 /$4 K's model of J has $2 $2 J's model of $Il modello di 4 K di J ha $ 8
/ \ / \
/ \ / \
/ \ / \
/ \ / \
... il modello di K ha $1 ..K has $4 $2 J's model of $Modello di 4 K di
\ / \ / \ $ 8 modello di J di
\ / \ / \ K ha $ 16
\ / \ / \
\ / \ / \
... del modello di K di J ha $2 ..J has $8 $2 J's model of $Modello di 4 K di
/ \ / \ / \ $ 8 modello di J di
/ \ / \ / \ $ 16 K's modello di
/ \ / \ / \ J ha $ 32
/ \ / \ / \
... il modello di K ha $1 ..K has $4 ..K ha $16 $Modello di 2 J di $ 4 K
\ / \ / \ modello di $ 8 J's
\ / \ / \ modello da $ 16.000
\ / \ / \ modello di $ 32 J's
\ / \ / \ il modello di K ha $ 64
\ / \ / \ e non verranno scambiati
\ / \ / \
... del modello di K di J ha $2 ..J has $8 $2 J's model of $Modello da 1 / $ 4 K di
/ \ / \ / \ $2/$8 modello di J di
/ \ / \ / \ $4/$Modello di 16 K di
/ \ / \ / \ $8/$Il modello di 32 J di
/ \ / \ / \ $ 16 K's modello di
/ \ / \ / \ J ha $ 32
/ \ / \ / \
... il modello di K ha $1 ..K has $4 ..K ha $16 $Il modello di 2 J di $1/$4 K's
\ / \ / \ modello di $2/$8 J's
\ / \ / \ modello di $4/$16 K's
modello di $8/$32 J's
\ / \ / \ modello da $ 16.000
modello di $ 32 J's
\ / \ il modello di K ha $ 64
e non cambierà
\
Nel primo ramo più a destra il modello di J di \$4 K's model of \$8 modello di J di \$16 K's model of \$Il modello di K di 32 J ha \$64 and certainly won't swap. This lattice of a tree includes half of all possibilities for the \$ importo che J potrebbe avere mentre tutti i rami terminali hanno K che non si scambia per lo stesso motivo.
L'altra metà di tutte le possibili quantità di J è inclusa in un reticolo simile che si diffonde da un presunto J avente \$4, where all terminal branches consider a model of K who has \$32 e inoltre non si scambieranno. Quindi J non ha motivo di offrire uno scambio.
Il ragionamento inverso da qui è stato presentato nel messaggio originale di questa risposta e certamente è parallelo al ragionamento di Florian F pubblicato in precedenza ).
Ecco i guadagni e le perdite probabilistici dal punto di vista di ogni giocatore se i giocatori si scambiano ad ogni occasione con l'altro quando K ha \$32 or \$64.
Aspettativa probabilistica, aspettativa probabilistica,
offerta di scambio offerta di scambio solo
Prob J ogni volta NET Prob K per importi inferiori NET
.2 $2 (1+4)/2 = $2.5 +$.5 .1 $1 2 = $2 +$1
.2 $4 (2+8)/2 = $5+$1 .1 $2 4 = $4 +$2
.2 $8 (4+16)/2 = $10 +$2 .2 $4 (2 + 8) / 2 = $5 +$1
.2 $16 (8+16)/2 = $12 -$4 .2 $8 (4 + 16) / 2 = $10 +$2
.2 $32 (16+32)/2 = $24 -$8 .2 $16 (8 + 32) / 2 = $20 +$4
.1 $32 32 = $32 0
Medie ponderate \ _ _ _ _ _ _ _ _ .1 $64 64 = $64 0
$12.4 $10.7 -$1.7 $15.5 $17.2 +$1.7
Le righe per J's \$16 and \$32 e le righe per K's \$32 and \$64 riflettono che K non offre uno scambio a \$32 or \$64.
Prob J Expectation NET Prob K Expectation NET .2 $16 (8+ 16 )/2 = $12 -$4 .1 $32 32 = $32 0 .2 $32 (16+ 32) / 2 = $24 -$8 .1 $64 64 = $64 0 / \ ________ / \ / \ _____ / \ Nessuno scambio se K lo ha $32 or $64 significa che J's $16 and $32 insieme a K's $32 and $64 rimangono invariati quando J si offre di scambiare ma K no.
Quindi J può probabilisticamente aspettarsi di perdere denaro se J offre sconsideratamente uno scambio a \$16 or \$32 mentre K saggiamente non at \$32 or \$64. Poiché ogni giocatore è un noto logico perfetto, J non offrirebbe uno scambio a \$16 or \$32 e K lo saprebbero. Questo a sua volta produce aspettative negative per K se K offrisse uno scambio a \$8 or \$16.
Prob J Expectation NET Prob K Expectation NET .2 $16 16 = $16 0 .2 $8 (4+ 8 )/2 = $6 -$2 .2 $32 32 = $32 0 .2 $16 (8+ 16) / 2 = $12 -$4 / \ ______ / \ / \ _______ / \ Nessuno scambio se J lo ha $16 or $32 significa che J's $16 and $32 insieme a K's $8 and $16 rimangono invariati quando K offre di scambiare ma J non lo fa.
Quindi anche K non offrirà uno scambio a \$8 or \$16. Questa altalena di aspettative decrescenti ricade a cascata lungo tutto il \$ amounts to where K has nothing to lose by offering a swap only at \$1 o \$2, but why even bother as K knows that J won’t offer to swap at any \$ quantità.
Penso che qui ci sia una soluzione alternativa e più semplice, basata sulle ipotesi fatte dalla risposta esistente.
Nota che la risposta esistente presuppone che il gioco sia perfetto e che i giocatori possano razionalizzare per l'altro (e ogni giocatore presume che l'altro stia facendo un gioco perfetto). Con queste ipotesi, possiamo semplificare: se una persona riceve un'offerta, è perché l'altra ha dedotto che lo scambio produrrà un valore atteso più alto. Pertanto non dovrebbero mai accettare uno scambio!