Trova la dimensione di $V$

Question

Permettere $T\in M_{m\times n}(\Bbb{R})$. Permettere$V$ essere il sottospazio di $M_{n\times p}(\Bbb{R})$ definito da $V=\{X\in M_{n\times p}(\Bbb{R}): TX=0\}$. Trova la dimensione di$V$.

Per trovare la dimensione di $V$. Definisci una mappa$S:M_{n\times p}(\Bbb{R})\to M_{m\times p}(\Bbb{R})$ di $S(X)=TX$. Chiaramente,$S$è una trasformazione lineare. Se avrò$\operatorname{dim}Ker(S)$ quindi posso facilmente trovare $\operatorname{dim}V$.

Ma come trovarli $\operatorname{dim}Ker(S)$?

Qualsiasi aiuto sarà apprezzato.

Answer 1

Possiamo risolvere questa domanda in due passaggi. Il primo passo è riformulare la domanda in modo che riguardi le mappe lineari anziché le matrici. Quindi rispondiamo alla domanda riformulata.

Una riformulazione dovrebbe essere simile a questa:

Permettere $g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$essere lineare. Permettere$V$ essere il sottospazio di $\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ definito da $V:=\{f\in\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)~:~g\circ f=0\}$. Trova la dimensione di$V$.

$\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ è lo spazio delle mappe lineari $\mathbb R^p\to\mathbb R^n$. Per ottenere questa formulazione, dobbiamo notare che ogni matrice in$M_{m\times n}(\mathbb R)$ è solo la rappresentazione di una mappa lineare $\mathbb R^n\to\mathbb R^m$, e che ogni tale mappa lineare è rappresentata esattamente da una di tali matrici (date le basi fisse degli spazi vettoriali coinvolti). Dobbiamo anche notare che se le matrici$A,B$ rappresentano le mappe lineari $f,g$, quindi la matrice $BA$ rappresenta la mappa lineare $g\circ f$. La moltiplicazione di matrici è stata deliberatamente definita in modo che ciò sia vero. Con questo, prendiamo$g$ essere la mappa lineare rappresentata da $T$, e $f$ la mappa lineare rappresentata da $X$e quindi abbiamo essenzialmente finito di tradurre.

Ora per risolvere la domanda. L'hai identificato correttamente$V$ è il nucleo della mappa $S:X\mapsto TX$. Nel linguaggio delle mappe lineari, dovremmo invece considerare$S:f\mapsto g\circ f$. È il kernel$V$come l'abbiamo definito nella nostra domanda riformulata. Ora dobbiamo chiederci: qual è il kernel di questa mappa? È lo spazio di tutti$f\in\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ la cui immagine è nel kernel di $g$, perché allora e solo allora lo farà $g\circ f$ mappare tutto su $0$. Semmai fuori$\ker g$ erano contenuti in $\operatorname{im}f$, poi $g$ lo mapperei a qualcosa di diverso da $0$, così $\operatorname{im}f\subseteq\ker g$. E nell'altra direzione, se$\operatorname{im}f\subseteq\ker g$, quindi ovviamente $g\circ f=0$.

Quindi ora dobbiamo trovare la dimensione dello spazio di tutte le mappe lineari $\mathbb R^p\to\mathbb R^n$ la cui immagine è in $\ker g$. Sono essenzialmente tutte le mappe lineari$\mathbb R^p\to\ker g$, questo è, $\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\ker g)$. E la dimensione di$\operatorname{Hom}(V,W)$ è solo $\dim V\cdot\dim W$ per qualsiasi spazio vettoriale $V,W$. In questo caso,$V=\mathbb R^p$ e $W=\ker g$, così $\dim\ker S=p\cdot\dim(\ker g)$.

Traducendo indietro, $g$ era la mappa rappresentata dalla matrice $T$. I loro chicchi sono gli stessi, per definizione. Quindi alla fine otteniamo

$$\dim V=\dim(\ker S)=p\cdot\dim(\ker T).$$