Trova la lunghezza di $DE$
Permettere $ABC$ essere un triangolo con $AB<AC$. Permettere$D$ essere dalla parte $AC$ tale che $AD=AB$. Permettere$I$ essere l'incentro del triangolo $ABC$ e $E$ essere l'intersezione delle bisettrici perpendicolari di $ID$ e $BC$. Quindi trova$DE$ in termini di $AB$, $AC$ e $BC$.
Nella domanda originale, erano state fornite alcune lunghezze ($AB=5$, $AC=8$ e $BC=7$). Quindi ha reso i miei calcoli molto più facili. Non sono riuscito a ottenere una soluzione elegante, quindi ho dovuto utilizzare la geometria delle coordinate per ottenere la soluzione con il metodo della forza bruta. Una cosa interessante che ho osservato è stata quella$AI$, la bisettrice perpendicolare di $BC$ e bisettrice perpendicolare di $ID$ incontrato al circumcircle di $\triangle ABC$. so perché$AI$ e la bisettrice perpendicolare di $BC$ si incontrano al circumcircle ma non so perché la bisettrice perpendicolare di $ID$si sarebbero incontrati anche lì. Qualcuno potrebbe fornire una prova?
Torniamo alla domanda principale. ho impostato$B=(0,0)$ e $C=(7,0)$ e senza troppe difficoltà ho trovato le coordinate di $A=\left(\frac{5}{7}, \frac{20 \sqrt{3} }{7} \right)$ e $I=(2, \sqrt{3})$ e $D=\left( \frac{65}{14} ,\frac{15\sqrt{3}}{14}\right)$. L'equazione della bisettrice perpendicolare di$BC$ è $x=3.5$ ed equazione della bisettrice perpendicolare di $ID$ è $y-\frac{29\sqrt{3}}{28}=\frac{-37}{\sqrt{3}} \left(x-\frac{93}{28}\right)$. La loro intersezione è il punto$E= \left(\frac{7}{2}, \frac{-7\sqrt{3}}{6}\right)$. E da qui la lunghezza di$DE$ è $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
Come puoi già vedere questo metodo è estremamente macchinoso e soggetto a errori (non so nemmeno se la mia risposta è corretta). Mi piacerebbe davvero una soluzione geometrica a questa domanda. Conosco solo la geometria elementare e la trigonometria, quindi chiedo una soluzione basata su quelle. (Si prega inoltre di chiarire perché saranno allineati). Qualsiasi soluzione sarà apprezzata. Non esitare a utilizzare le lunghezze fornite per facilitare il calcolo e la scrittura.
Diagramma di riferimento:
Risposte
Indicherò gli angoli del triangolo con $A,B,C$ e lati del triangolo opposti a questi angoli rispettivamente come $a,b,c$.
Fatto 1: da allora$\triangle ABD$ è isoscele con bisettrice $AI$, $AI$ è la bisettrice perpendicolare di $BD$.
Fatto 2: $$\begin{aligned}\angle BIC&=180^\circ-\angle IBC-\angle ICB=180^\circ-\dfrac{B}2-\dfrac{C}2\\&=180^\circ-\left(\dfrac{B+C}2\right)=180^\circ-\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2 \end{aligned}$$
Fatto 3: Usando quello$\triangle ABD$ è isoscele, abbiamo $\angle ABD=\angle ADB= \dfrac{180^\circ-A}2$ $$\begin{aligned} \angle BDC= A+\angle ABD=A+\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2\end{aligned}$$
Dai fatti 2,3 , abbiamo quello$\angle BIC=\angle BDC$, quindi se disegniamo il circumcircle di $\triangle BDC$, allora questi due angoli uguali sono angoli nello stesso segmento di quel cerchio , quindi$B,I,D,C$sono conciclici. Questo implica che$\underline{\text{$\ triangle BID$ and $\ triangle BDC$ have the same circumcircle}}$.
Di conseguenza, denotando $\texttt{PB,CC}$ come bisettrice perpendicolare e circumcircle rispettivamente, ne segue $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC \ (\text{by definition of }\texttt{CC})\\ (\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC \ (\text{by definition of }\texttt{CC}) $$ ma il fatto sottolineato implica $$\texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC=\texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC$$ così che $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=(\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)$$e dal fatto 1 $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=AI \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=E$$ dove la seconda uguaglianza è qualcosa che hai menzionato che già conosci.
Così $E$ è il centro del circumcircle di $\triangle BIC,\triangle BDC$ con $EC,EI,ED$ come raggio $R_1$del cerchio. Potete trovare$|DE|=R_1$ usando la regola del seno $\triangle BDC$ come
$$\begin{aligned} DE=IE=R_1=\dfrac{BC}{2\sin(\angle BDC)}&=\dfrac{BC}{2\sin\left(90^\circ+\dfrac{A}2\right)}\\&=\dfrac{a}{2\cos\left(\dfrac{A}2\right)}\end{aligned}$$ e poi usa $\cos(A/2)=\sqrt{\dfrac{1+\cos^2A}2}$ con $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ dalla regola del coseno.
Possiamo vederlo $ID=IB$. Inoltre abbiamo:
$\angle BEA=\angle ACB$
$\angle BAE=\angle EAC$
Che si traduce in:
$\triangle ABE=\triangle AEC $
Perciò:
$BE=DE$
Ora collega C a I. CI è bisettrice dell'angolo ACB. Segna l'intersezione della perpendicolare da E su ID come F. Questa perpendicolare è anche la bisettrice dell'angolo IED. Abbiamo:
$\angle IEF=\frac{\angle BEI}{2}=\frac{\angle ACB}{2}$
Quali risultati:
$\angle BCI=\angle IEF$
Possiamo anche dimostrarlo $EC=ED$. Ciò significa che i punti B, I, D e C sono sulla circonferenza del centro di un cerchio in E. Consideriamo ora il triangolo IBC, DE è in effetti il raggio di questo cerchio, quindi usiamo la seguente formula per calcolare la sua misura:
$DE=R=\frac{BI\times IC\times BC }{2S}$
Dove S è l'area di questo triangolo. Ora tutto ciò di cui abbiamo bisogno è trovare le misure di BI, IC. Avendo questi possiamo trovare S usando la formula di Harum e trovare R.