Trova $\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})$

Question

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(\dfrac{\cos{x}}{e^x}\right)$$

Da lì, lo vedo $e^x$ approcci $0$ mentre $\cos{x}$ oscilla tra $-1$ e $1$.

La mia risposta è che il limite non esiste . Qual è il ragionamento corretto per spiegare questo? Il limite oscilla per sempre, avvicinati$\pm\infty$, eccetera.?

Answer 1

Sì, la tua idea è giusta, per dimostrarlo in modo rigoroso consideriamolo per $x_n= -2\pi n \to -\infty$ come $n\to \infty$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=e^{-x_n}=\infty$$

e per $x_n= -\pi n$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=-e^{-x_n}=-\infty$$

quindi il limite non esiste.

Answer 2

Prendere $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, dove $k$ è intero e $k\rightarrow-\infty$.

Lo vediamo $e^{-x}\cos{x}=0.$

In un'altra mano, per $x=\pi k$ e $k\rightarrow-\infty$ noi abbiamo $|e^{-x}\cos{x}|\rightarrow+\infty$.

Id est, il limite non esiste.

Answer 3

Applicare il test del rapporto sulla sequenza $x=-2\pi n$.